Question

1. (1 ). решите рекуррентное соотношение: аn+2-10n+1+25an=0, с начальными условиями а0=1, а1=15?

Answer 1

Что-то мне подсказывает, что рекуррентное соотношение было таким:
$a_{n+2}-10a_{n+1}+25a_n=0$
а не таким, как написано у вас (и в конце концов, начните использовать уже скобки или еще что-нибудь в таком духе!)

Ищем решение в виде $a_n=\lambda^n$ (про начальные условия пока забудем). Подставив в соотношение будем иметь:
$\lambda^{n+2}-10\lambda^{n+1}+25\lambda^n=0\\ \lambda^2-10\lambda+25=0\\ \lambda_{1,2}=5$

Получилось 2 равных корня, поэтому решение всей задачи имеет вид
$a_n=(x+ny)\cdot5^n$
где x,y - неизвестные (пока) коэффициенты. Для определения коэффициентов подставим начальные условия:
$\begin{cases}(x+0y)5^0=1\\(x+1y)5^1=15\end{cases}\begin{cases}x=1\\x+y=3\end{cases}\begin{cases}x=1\\y=2\end{cases}$

ответ. 
$a_n=(1+2n)\cdot5^n$