Question

(x^2-x+a)/(x^2-2x+a^2-6a)=0 при каких значениях а данное уравнение будет иметь 2 различных корня?

Answer 1

$a\in(-\infty, a_0)\cup(a_0,0)\cup(0,1/4)$, где $a_0\approx-0.16$

Пошаговое объяснение:

В числителе стоит квадратный трёхчлен, у него может быть не более 2 корней. Значит, чтобы у уравнения было ровно 2 различных корня, числитель должен иметь 2 корня, и ни один из корней числителя не должен быть корнем знаменателя.

У числителя два неравных корня, если дискриминант больше нуля:

$D=1-4a0$

Найдём, при каких a хотя бы какой-то корень числителя является корнем знаменателя:

$x^2-x+a=x^2-2x+a^2-6a=0\\\begin{cases}x=a^2-7a\\x^2-x+a=0\end{cases}$

Подставляем найденный x в уравнение:

$a^2(a-7)^2-a(a-7)+a=0\\a(a^3-14a^2+49a-a+7+1)=0\\a(a^3-14a^2+48a+8)=0$

Один корень (a = 0) находится легко, еще один корень можно выписать по формулам для кубических уравнений или найти графически. Можно показать, что что этот корень $a_0$ единственный и удовлетворяет неравенству 1 - 4a > 0: производная функции $f(a)=a^3-14a^2+48a+8$ равна $f'(a)=3a^2-28a+48$. При a < 1/4 производная положительна, кроме того, $f(0)0$, $f(-1)<0$, поэтому f(a) имеет корень на отрезке [-1, 0]. Выражение для $a_0$ довольно-таки громоздкое, по графику $a_0\approx-0.16$