Question

Найти предел функции при sgrt(x*2 + 1)/x при х стремящемуся к минус бесконечности

Answer 1

$\lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt{x^2+1}}{x}$

Сначала учтем, что  поскольку у нас стремление к $-\infty$ то х будет отрицательным. Дальше преобразуем выражение:

$\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}=\frac{\sqrt{x^2(1+\frac{1}{x^2})}}{x}= \\ =\frac{x\sqrt{(1+\frac{1}{x^2})}}{x}$

Теперь находим предел:

 $\lim_{x \to -\infty}\frac{x\sqrt{(1+\frac{1}{x^2})}}{x}=\lim_{x \to -\infty}-\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}=-1$

Почему -1, потому что по сути в числителе у нас явно положительное число, и после наших преобразований оно и должно им остаться. а вот знаменатель при стремлении к   $-\infty$ будет отрицательным. Если делить положительное на отрицательное, то в результате получается отрицательное.

ответ:  $\lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt{x^2+1}}{x}=-1$