Question

Диагонали прямого параллепипеда равны 8 и 10 м стороны основания 5 и 3 м найдите его объем

Answer 1

См.рис.
По теореме косинусов
$BD^2=BC^2+CD^2-2\cdot BC\cdot CD\cdot\cos C=25+9-2\cdot5\cdot3\cdot\cos C=\\=34-30\cdot\cos C\\AC^2=AD^2+CD^2-2\cdot AD\cdot CD\cos D=\\=25+9-2\cdot5\cdot3\cos (180^o-C)=34+30\cos C$
Треугольники BDB1 и CAC1 прямоугольные, т.к. параллелепипед прямой. По т.Пифагора:
$BB_1=\sqrt{B_1D^2-BD^2}=\sqrt{64-34+30\cos C}=\sqrt{30+30\cos C}\\CC_1=\sqrt{AC_1^2-AC^2}=\sqrt{100-34-30\cos C}=\sqrt{66-30\cos C}\\BB_1=CC_1\Rightarrow\sqrt{30+30\cos C}=\sqrt{66-30\cos C}\\30+30\cos c=66-30\cos C\\60\cos C=36\\\cos C=0,6\\\sin C=\sqrt{1-\cos^2C}=\sqrt{1-0,36}=\sqrt{0,64}=0,8\\BD^2=34-30\cdot0,6=34-18=16\Rightarrow BD=4\\BB_1=\sqrt{30+30\cdot0,6}=\sqrt{30+18}=\sqrt{48}=4\sqrt3\\V=S_{OCH}\cdot BB_1\\S_{OCH}=BC\cdot CD\cdot\sin C=5\cdot3\cdot0,8=12\\V=12\cdot4\sqrt3=48\sqrt3$