Поскольку , то равенство при целых a, b, c будет в том и только в том случае, если будет выполняться система
Заметим, что третье уравнения системы - сумма первых двух, так что его можно убрать из рассмотрения, останется система из двух уравнений с тремя неизвестными. Выразим b и c через a:
Поскольку b должно быть целым, a должно давать остаток 5 при делении на 7; . Подставляем:
Эти равенства при любых целых a' задают все целочисленные решения уравнения. Найдём количество решений, удовлетворяющих неравенству.
Подходят -47 < a' < 44, таких a' найдётся 44 + 47 - 1 = 90
Рассмотрим функцию y=t³+4t. Это - нечетная возрастающая функция (возрастание можете проверить с производной, хотя это и так очевидно, так как функция есть сумма двух возрастающих функций). Из монотонности следует, что она каждое свое значение принимает ровно по одному разу, поэтому оба получившихся уравнения имеют по одному решению. Из нечетности следует, что значения 12 и - 12 она принимает в симметричных точках. Поэтому, если p - решение первого уравнения, а q - решение второго уравнения, то p+q=0. Отсюда
, то равенство при целых a, b, c будет в том и только в том случае, если будет выполняться система
. Подставляем:
длина вектора a=/(-2^2+ 5^2)=/(4+25)=/29
длина вектора b=/(3^2+ 1^2)=/(9+1)=/10
длина вектора ab=/29+/10=/39