1. Пусть меньшему х лет, тогда трем следующим соответсвенно (х+3), (х+6), (х+9) лет. Зная, что вместе им 138 лет, составляем уравнение:
х+х+3+х+6+х+9=138
4х=120
х=30 лет меньшему
Остальным 33, 36, 39 лет.
ответ. 30, 33, 36, 39 лет.
2. Пусть меньшему брату х лет, тогда старшему - (х+3) лет. Составляем уравнение:
х+4+х+3+4=33
2х=22
х=11 лет младшему брату
11+3=14 (л.) - старшему брату
ответ. 11 и 14 лет.
3. Пусть Джорджу х лет. Четыре года назад ему было (х-4) лет, а через восемь лет ему будет (х+8) лет. Составляем уравнение:
3(х-4)=2(х+8)
3х-12=2х+16
3х-2х=16+12
х=28
ответ. 28 лет.
Двузначные числа не подходят, так как в этом случае, так как в этом случае получаем уравнение
13 * (x + y) = 10 * x + y , которое не имеет положительных корней.
Четырехзначные тоже не подходят, так как сумма их цифр не превышает 36, а 36 * 13 = 468 < 1000.
Поэтому данное число - трехзначное и получаем уравнение
100 * x + 10 * y + z = 13 * (x + y + z)
87 * x - 3 * y - 12 * z = 0
y + 4 * z = 29 * x
Левая часть не превышает 50, поэтому х=1.
Тогда возможны такие варианты
1) y = 1 , z = 7
2) y = 5 , z = 6
3) y = 9 , z = 5
Итак, искомые числа 117, 156 и 195
A(1;-14), B(5;-5), C(0;12)
2. Будем искать углы треугольника, как углы между парами векторов, совпадающих со сторонами треугольника. Для этого определим соответствующие векторы. Для векторов я буду использовать подчеркивание вместо надчеркивания (знака вектора) Угол А образован векторами АВ и АС. Определим эти векторы.
AB(5-1;-5+14) ⇒ AB(4,9); AC(0-1;12+14) ⇒ AC(-1;26)
Угол B образован векторами BA и BC. Определим эти векторы.
BA(1-5;-14+5) ⇒ BA(-4;-9) - заметим, что координаты BA получились с обратными знаками по отношению к AB - это пригодится, чтобы меньше вычислять в дальнейшем.
BC(0-5;12+5) ⇒ BC(-5;17)
Угол С образован векторами CA и CB. Определим эти векторы.
CA(1;-26) - ранее AC уже был определен.
CB(5;-17) - ранее BC уже был определен.
3. Косинус угла между векторами u и v определяется по формуле
Определяем угол А.
Вычислим скалярное произведение AB×AC = 4×(-1)+9×26 = 230
Вычислим длины этих векторов, получим √(4²+9²)=√97 и √((-1)²+26³)=√677
Тогда cos(A)=230/√(97×677) = 0.898; A=26.1 град
Аналогично найдем BA×BC = (-5)×(-4)-9*17 = -133
Длины векторов составят √((-4)²+(-9)²)=√97 и √((-5)²+17²)=√314
cos(B)=-133/√(97*314) = -0.76; B=139.6 град
Для определения угла С получаем СA×CB = 1×5+(-26)×(-17) = 447
Длины этих векторов совпадают с длинами уже найденных, противоположно направленных векторов и составляют √677 и √314
cos(C)=447/√(677×314) = 0.97; C=14.2 град.
Проверка: найдем сумму всех трех полученных углов:
26.1+139.6+14.2=180.