Колесо – одно из самых важных изобретений в области механики за всю историю человечества. Колесо – очень древнее устройство, оно появилось еще в Бронзовом веке (3500–1000 до н.э.).Первые колеса для повозок делались сплошными, их отрезали от бревен или сшивали из нескольких досок и затем обрезали по кругу. Для такой обработки дерева требовались пилы и другие инструменты развитого общества, знакомого с металлом и изделиями из него. Существуют археологические свидетельства того, что Месопотамия была тем очагом цивилизации, где обработка металла впервые достигла уровня развития, при котором возможно производство колесных повозок.У первых прототипов современной повозки колеса в виде сплошного диска наглухо крепились к оси, которая вращается в направляющих. Кузов у такой повозки появился позже. Древнейшие двухколесные и четырехколесные повозки, создание которых относят к 3500 до н.э., были найдены в Месопотамии – там, где некогда стоял город Киш. Их обнаружили вместе со скелетами впряженных волов и ослов.Сложность устройства колес и кузовов этих экипажей свидетельствует о длительном периоде совершенствования их конструкции. К концу Бронзового века повозки со свободно вращающимися на оси колесами «докатились» до Скандинавии и северных областей Китая.
От 3 до 51 столько же нечётных чисел, сколько от 2 до 50 – чётных. От 2 до 50 – столько же чётных чисел, сколько всего чисел от 1 до 25. Значит от 3 до 51 – 25 нечётных чисел.
И нам нужно выбрать из них разные числа на 25 вершин 25-угольника. Стало быть, мы должны будем взять все нечётные числа от 3 до 51.
Числа 3—15—5—35—7—21—3 неизбежно образуют замкнутый контур, т.е. шестиугольник, вписанный в исходный 25-угольник.
Выберем произвольное число N, кроме перечисленных, и соответствующую ему точку. Допустим, эта точка N лежит в 25-угольнике между числами 3 и 15.
Проведём лучи N—3 и N—15 (красные). Ясно, что все точки и числа находящиеся НЕ между 3 и 15 окажутся внутри тупого угла между лучами N—3 и N—15. Так же ясно, что любой луч (зелёный), находящийся внутри красного угла, пересечёт отрезок 3–15.
Среди вершин, одна будет подписана числом 45, которое делится и на 3 и на 5.
Если число 45 лежит между вершинами 3 и 15, то тогда оно без проблем (без пересечений) может быть соединено с числом 3, но вот чтобы соединиться с числом 5 – нужно будет провести луч внутри красного угла, а он пересечёт отрезок 3—15 (зелёный луч).
Аналогично можно доказать, что если число 45 лежит между вершинами 5 и 15, то тогда оно без проблем может быть соединено с числом 5, но вот чтобы соединиться с числом 3 – нужно будет провести луч, который пересечёт отрезок 5—15.
Аналогично можно доказать, что если число 45 лежит между любыми другими вершинами, то оно пересечёт какой-то из отрезков шестиугольника 3—15—5—35—7—21—3. Что показано сиреневыми и жёлтыми лучами.
Таким образом: построение заданных отрезков для числа 45, не пересекающих другие, после того, как уже построены отрезки для чисел 3, 15, 5, 35, 7 и 21 – невозможно, т.е. пересечение неизбежно возникнет.
*** Важно понимать, что все проблемы среди предлагаемых чисел создаёт именно число 45, поскольку оно является своеобразным «дублёром» числа 15, ведь и в одном и в другом содержатся тройка и пятёрка в качестве простых множителей, а значит, к этим числам должны быть проведены диагонали и от 3 и от 5.
Если взять нечётные числа от 3 до 43 (всего 21 число), то их совершенно спокойно можно расположить на 21-угольнике по тем же принципам без пересечений. Что показано на втором чертеже.
И даже если взять все нечётные числа от 3 до 51 за исключением 45 (всего 24 числа), то их совершенно спокойно можно расположить на 24-угольнике по тем же принципам без пересечений. Что показано на третьем чертеже.
