Question

Доказать что дробь вида n/(2n^2+1) превращается в чистую периодическую десятичную дробь

Answer 1

Предположим что  данная дробь  является конечной ,тогда тк   любое конечное положительное рациональное число  рациональное   число   представимо в виде выражения:
N/10^k   тогда  верно что:
n/2n^2+1=N/10^k
n*10^k/2n^2 +1=N
число n не    имеет  с числом  2n^2+1 общих  простых делителей.
Действительно  тк   число  2n^2  cодержит  в себе  все простые  делители   числа n,то   число 2n^2+1  не содержит  всех этих делителей,тк  это число  будет  давать на   все  эти делители  остаток 1,тк 1-это  наименьшее число  из всех простых  делителей.Число  10^k  содержит  делители  2^m  и 5^p  p,m-натуральные   числа  (p<=k  m<=k)
делитель   2^m четный  ,а   число  2n^2+1 всегда нечетно ,то  делитель  2^m у  них быть   общим не  может.Если  у числа  2n^2+1 есть  общий делитель  5^p,то  оно  либо оканчивается   на  цифру 0 или  цифру 5.Проанализируем   все варианты: число n может кончаться  на цифры 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
тогда  число  2n^2+1  может оканчиваться на цифры 1,3,9,9,3,1,3,9,9,3 то есть  это число  не может иметь делитель 5^p.
Таким  образом числитель и знаменатель   дроби   n*10^k/2n^2+1 не  имеют общих   делителей,тогда  эта дробь несократима,а  тк из равенства
 n*10^k/2n^2+1=N то  несократимая   дробь равна   натуральному числу,а   такое невозможно,то   есть мы пришли к противоречию,значит  эта дробь бесконечно  периодическая   при любом n.Теперь   самое трудное.Необходимо   доказать,что эта дробь чисто   периодическая (без примесей)
Любое   чисто периодическое  число  меньшее 1 (как   и наше   при любом n)
представимо  в   виде: N/(10^k  -1) где  k-длинна  его   периода N cам  этот   период без  нулей  в начале,если  таковые   присутствуют.(Надеюсь  понятно)
Положим  теперь что  наша дробь  смешанная  ,тогда верно   что
n/2n^2+1=N/10^s +M