Ребро куба равно а. найдите радиусы вписанного в куб и описанного около него шаров.

Question

Математика: Ребро куба равно а. найдите радиусы вписанного в куб и описанного около него шаров.

soborsasha · Accepted Answer

Подобные уравнения решаются с замены переменной.

$2\cos^2x-5\cos x+2=0$

Заменим $\cos x$ на t (буква может быть любая, но эта привычнее).

$\cos x=t$

Тогда $\cos^2x=t^2$

Так как косинус может принимать значения только из отрезка [-1; 1], то и t должно удовлетворять этому требованию:

$t\in[-1;\;1]$

Подставим данные значения в исходное уравнение и решим его как квадратное в отношении t:

$2t^2-5t+2=0\\D=(-5)^2-4\cdot2\cdot2=25-16=9\\t_{1,2}=\frac{5\pm3}4\\t_1=\frac12\\t_2=2$

Второй корень не подходит, т.к. $t\in[-1;\;1]$

Выполним обратную замену переменной и найдём x:

$t=\cos x=\frac12\\x=\pm\frac\pi3+2\pi n,\;n\in\mathbb{Z}$

ответ: $x=\pm\frac\pi3+2\pi n,\;n\in\mathbb{Z}$

P.S. Если оба корня квадратного уравнения лежат в отрезке [-1; 1], обратную замену производим для каждого корня. В ответе к задаче также будет два корня.

MOGZ ответил