Question

Сократить данные дроби. 1) x^2 - 5x + 6 ; 2) 2 + x - 3x^2 ; 3) 3x^2 + 2x - 5 ; 4) x^4 - x^2 - 12 ; x^2 - 9 9x^2 - 4 x^3 -1 x^3 + 8

Answer 1

Числитель раскладываем на множители согласно формуле
ax²+bx+c=a(x-x1)(x-x2), где x1,x2- корни уравнения ax²+bx+c=0

а знаменатель раскладываем по формулам разности квадратов /кубов

$\dfrac{x^2-5x+6}{x^2-9} \\\\\\x^2-5x+6=0\\x_1=3;\quad x_2=2\\\\\\ \dfrac{x^2-5x+6}{x^2-9}=\dfrac{(x-3)(x-2)}{(x-3)(x+3)}=\dfrac{x-2}{x+3}$

$\dfrac{2+x-3x^2}{9x^2-4}\\\\\\2+x-3x^2=0\\D=1+24=25\\\\x_1=\dfrac{-1+5}{-6}=-\dfrac{2}{3};\quad x_2=1\\\\\\\dfrac{2+x-3x^2}{9x^2-4}=\dfrac{-3(x+\frac{2}{3})(x-1)}{(3x-2)(3x+2)}=\dfrac{-(3x+2)(x-1)}{(3x-2)(3x+2)}=\dfrac{1-x}{3x-2}$

$\dfrac{x^4-x^2-12}{x^3+8}\\\\\\x^4-x^2-12=0\\z:=x^2 \\z^2-z-12=0\\z_1=4;\quad z_2=-3\\\\\\\dfrac{x^4-x^2-12}{x^3+8}=\dfrac{(x^2-4)(x^2+3)}{(x+2)(x^2-2x+4)}=\dfrac{(x-2)(x+2)(x^2+3)}{(x+2)(x^2-2x+4)}=\\\\\\=\dfrac{(x-2)(x^2+3)}{(x^2-2x+4)}$