Question

Найдите точку минимума функции: y = (x^2-5x + 5)e^7 –x , с решением. надо понять, как делать.

Answer 1

У=(x^2-5x + 5)e^(7 –x)
у`=(2x-5)e^(7 –x)+(x^2-5x + 5)e^(7 –x)*(-1)=(2x-5-x^2+5x - 5)e^(7 –x)=(-x^2+7x - 10)e^(7 –x)
y`=0 при х1=2 и при х2=5
у''=(-2x+7)e^(7 –x)+(-x^2+7x - 10)e^(7 –x)*(-1) = (-2x+7+x^2-7x + 10)*e^(7 –x)= (-9x+17+x^2)*e^(7 –x)
у''(х=2)=(-9*2+17+2^2)*e^(7 –2)=3*e^(5) > 0 - точка минимума
у''(х=5)=(-9*5+17+5^2)*e^(7 –5)=-3*e^(5) < 0 - точка максимума

ответ при х=2 - точка минимума

во вложении - график

Answer 2

$y=(x^2-5x+5)e^7-x \\ \\ y'=(x^2-5x+5)'*e^7-(x)'=[(x^2)'-(5x)'+(5)']*e^7-1= \\ =(2x-5)*e^7-1 \\ \\ (2x-5)*e^7-1=0 \\ (2x-5)*e^7=1 \\ 2x-5=\frac{1}{e^7} \\ 2x=\frac{1}{e^7}+5 \\ x=\frac{1+5e^7}{2e^7} \\ x=2,5$

_____________2,5_____________> x

$y'(x=2)=(2*2-5)*e^7-1=(4-5)*e^7-1=-e^7-1<0 \\ y'(x=3)=(2*3-5)*e^7-1=(6-5)*e^7-1=e^7-10 \\$

______-______2,5______+______> x

Видим, что при прохождении через точку 2,5 производная меняет знак с минуса на плюс, то есть это будет точка минимума.