Question

Снатуральным числом, записанным в десятичной системе, разрешается проделывать такие операции: 1) приписать на конце цифру 4 2) приписать на конце цифру 0 3) разделить на 2 (если число четно) можно ли из числа 4 получить 2007? какие нат. числа можно получить из числа 4?

Answer 1

Докажем по индукции, что если 1, 2, 3, ..., n можно получить, то и n + 1 можно получить.
База. 1, 2, 3, 4, 5 и 9 можно получить (4 -> 2 -> 1; 2 -> 24 -> 12 -> 6 -> 3; 1 -> 10 -> 5; 1 -> 14 -> 144 -> 72 -> 36 -> 18 -> 9).
Переход.

Покажем сначала, что можно из чисел, меньших нужного, получить любое число, кроме (быть может) оканчивающегося на 9:
x -> 10 x -> 5 x
2 x -> 20 x + 4 -> 10 x + 2 -> 5 x + 1
x -> 10 x + 4 -> 5 x + 2
4 x + 2 -> 40 x + 24 -> 20 x + 12 -> 10 x + 6 -> 5 x + 3
x -> 10 x + 4

Рассмотрим случай, когда нужно получить ...9.
10 x + 9 <- 20 x + 18 <- 40 x + 36 <- 80 x + 72 <- 160 x + 144 <- 16 x + 14
16 x + 14 - четное число, поэтому не оканчивается на 3 или 9. Если оно не оканчивается на 6, то его можно получить из числа, которое меньше данного не менее чем в 2,5 раза. Но (16 x + 14)/2.5 = 6.4 x + 5.6 < 10 x + 9.

Несложно проверить, что 16 x + 14 оканчивается на 6, если x дает остаток 2 при делении на 5. Пусть x = 5 k + 2, тогда 
16 * (5 k + 2) + 14 = 80 k + 46 <- 160 x + 92 <- 320 x + 184 <- 32 x + 18 < 80k + 46, что и требовалось. 

ответ. а) да; б) любые.