Question

Множество чисел 1, 2,3, 1974,1975 разбиты на две групи.до первой группе отнесли все числа с нечетным суммой цифр, а ко второй-с парною.що больше: сумма всех чисел первой группы или сумма всех чисел второй группы

Answer 1

Пусть $A=\left \{ 0,1,2,3...1974,1975 \right \}$ (можно считать, что это данная множество чисел, потому включив в нее 0, не изменится ответ к вопросу, $B =\left \{ 0,1,2,3,...,1974,1975,1976,...,1998,1999 \right \}$

Докажем, что когда В разбить на две группы так, как это требует условие задачи, то сумма всех чисел одной группы будет равна сумме всех чисел второй. 

Все числа с множеств В имеют вид $\overline{pqab}$, где р - равно нулю или 1, а цифры q, a ,b могут быть произвольными. Разобьем множество В на две подмножества Н и K, включив до Н все числа из В с нечетным суммой цифр, а в K - с четным. 

Обозанчим через $\sum_H$ и $\sum_K$ суммы чисел соотвественно с Н и К. Докажем, что $\sum_H=\sum_K$
Для этого, подадим $\sum_H$ как сумму $\sum_H'+\sum_H''$
где, $\sum_H'$ - сумма чисел $\overline{pqab}$, в которой (a+b) нечетное число( поэтому (p+q) - четное число), а $\sum_H''-$ сумма чисел $\overline{pqab}$, в которой (a+b) - четное число ( отсюда (p+q) - нечетное число). Аналогично  сделаем это суммой $\sum_K$, положив
$\sum_K=\sum_K'+\sum_K''$, где $\sum_K'(\sum_K'')-$ сумма чисел $\overline{pqab}$, в которых и (a+b) и (p+q) - нечетные( соотвественно, и (a+b), и (p+q) - четные числа). Тогда $\sum_H-\sum_K=(\sum_H'-\sum_K')+(\sum''_H-\sum_K'')$
Где виражение $\sum'_H-\sum'_K$ содержит только те числа $\overline{pqab}$, в которых (a+b) - нечетное, а выражение 
$\sum''_H-\sum''_K$ -только те числа $\overline{pqab}$, в которых (a+b) - четное.

ПОкажем что $\sum'_H-\sum_K'=0$. Зафиксируем цифры a и b и рассмотрим в суммах $\sum'_H$ и $\sum_K'$ слагаемых, запись которых заканчивается этимы цифрами. Они имееют соответсвенно вид $\overline{p_1q_1ab}$ где $p_1+q_1-$ четное, и $\overline{p_2q_2ab}$, где $q_2+p_2-$ нечетное,причем таких слагаемых в суммах $\sum'_H$ и $\sum'_K$ содержится поровну. 

Для них имеем $\overline{p_1q_1ab}-\overline{p_2q_2ab}=100(p_1q_1-p_2q_2)$. 
Обозначим через $M_1$ (соотвественно через $M_2$)
сумму всех чисел $\overline{pq}$, где 
$p \in \left \{ 0;1 \right \},q\in \left \{ 0;1;...;9 \right \}$ и (p+q) - четное(соотвественно нечетное)
Поскольку$M_1=M_2$, то сумма всех разностей равен 
$100(M_1-M_2)$. Это правильно  для произвольных a и b, 

Итак, $\sum_H'-\sum_K'=0$

Аналогично, получим, что $\sum_H''-\sum_K''=0$.

Теперь вернемся к множествам А.

Пусть $S_H$ и $S_K$ - суммы чисел, которые пренадлежат к А, и имеют соотвественно четную и нечетную суммы цифр. Поскольку,
$B=A\cup \left \{ 1976,...,1999 \right \},$ то имеем
$\sum_K=S_K+1997+1979+1980+1982+1894+1986+1988+1991+ \\ +1993+1995+1997+199,$

$\sum_H=S_H+1976+1978+1981+1983+1985+1987+1989+ \\ +1989+1990+1992+1994+1996+1998$

Отсюда, $\sum_K-\sum_H=S_K-S_H+2$ и тогда
$\sum_K+2=S_H$, потому что $\sum_K=\sum_H$

ответ: 2.