Question

Найти корни уравнения x^3+3x^2-6x+a=0,если известно, что оно имеет три различных действительных корня, образующих прогрессию.

Answer 1

$x^3 + 3x^2 - 6x + a = 0$

Выведем формулы Виета для уравнения третьей степени:

$(x - a_1)(x - a_2)(x - a_3) = (x^2 - (a_1 + a_2)x + a_1*a_2)(x - a_3) =\\\\ = x^3 - (a_1 + a_2 + a_3)x^2 + (a_1*a_2 + a_1*a_3 + a_2*a_3)x- a_1*a_2*a_3\\\\ -3 = a_1 + a_2 + a_3\\\\ -6 = a_1*a_2 + a_1*a_3 + a_2*a_3\\\\ -a = a_1*a_2*a_3$

Т.к. корни образуют геометрическую прогрессию, то, справедливо:

$a_1, \ a_2 = a_1*q, \ a_3 = a_2*q = a_1*q^2$

Найдём знаменатель геометрической прогрессии и один из членов:

$-3 = a_1(1 + q + q^2)\\\\ -6 = a_1(a_1*q)+ a_1(a_1*q^2) + (a_1*q)(a_1*q^2) = \\\\ = a_1^2(q + q^2 + q^3) = a_1^2q(1 + q + q^2)\\\\ \frac{-6}{-3} = \frac{a_1^2q(1 + q + q^2)}{a_1(1 + q + q^2)}\\\\ 2 = a_1q = a_2\\\\ a_1 = \frac{2}{q}, \ \frac{2}{q}(1 + q + q^2) = -3\\\\ 2 + 2q + 2q^2 = -3q\\\\ 2q^2 + 5q + 2 = 0\\\\ D = 25 - 16 = 9\\\\ q_1 = \frac{-5 + \sqrt{9}}{4} = -\frac{2}{4} = -0.5\\\\ q_2 = \frac{-5 - \sqrt{9}}{4} = -\frac{8}{4} = -2$

Проверим для $q = -0.5$:

$a_2 = 2, \ a_1 = a_2*(0.5)^{-1} = 2*(-2) = -4 , a_3 = a_2*(-0.5) = -1\\\\ a_1 + a_2 + a_3 = -4 + 2 - 1 = -3\\\\ a_1*a_2 + a_1*a_3 + a_2*a_3 = -4*2 + (-4)*(-1) + 2*(-1) =\\\\= -8 + 4 - 2 = -6$

Проверим для $q = -2$:

$a_2 = 2, \ a_1 = a_2*(-2)^{-1} = 2*(-2) = -1 , a_3 = a_2*(-2) = -4\\\\ a_1 + a_2 + a_3 = -1 + 2 - 4 = -3\\\\ a_1*a_2 + a_1*a_3 + a_2*a_3 = -1*2 + (-1)*(-4) + 2*(-4) = \\\\ = -2 + 4 - 8 = -6$

$\mathbb{OTBET:} \ a_1 = -1, \ a_2 = 2, \ a_3 = -4, \ a = -8.$
Само уравнение принимает вид $x^3 + 3x^2 - 6x - 8 = 0$.