Пошаговое объяснение:
\begin{gathered}f(x)=6x-2\; ,\; \; (\pi ,\pi )a_0=\frac{1}{\pi }\int\limits^{\pi }_{-\pi }f(x)\, dx =\frac{1}{\pi } \int\limits^{\pi }_{-\pi }(6x-2)\, dx=\frac{(6x-2)^2}{\pi \cdot 6\cdot 2}\Big |_{-\pi }^{\pi }==\frac{1}{12\pi }\cdot ((6\pi -2)^2-(-6\pi -2)^2)=-\frac{4\pi }{\pi }=-4a_{n}= \frac{1}{\pi }\int\limits^{\pi }_{-\pi }f(x)\cdot cosnx\, dx=\frac{1}{\pi } \int\limits^{\pi }_{-\pi }(6x-2)cosxnx\, dx==[u=6x-2,\; du=6dx,\; dv=cosnx,\; v=\frac{1}{n}sinnx]=\end{gathered}
f(x)=6x−2,(π,π)
a
0
=
π
1
−π
∫
π
f(x)dx=
π
1
−π
∫
π
(6x−2)dx=
π⋅6⋅2
(6x−2)
2
∣
∣
∣
∣
−π
π
=
=
12π
1
⋅((6π−2)
2
−(−6π−2)
2
)=−
π
4π
=−4
a
n
=
π
1
−π
∫
π
f(x)⋅cosnxdx=
π
1
−π
∫
π
(6x−2)cosxnxdx=
=[u=6x−2,du=6dx,dv=cosnx,v=
n
1
sinnx]=
\begin{gathered}=\frac{1}{\pi }\Big (\frac{6x-2}{n}\cdot sin\, nx\Big |_{-\pi }^{\pi }-\frac{6}{n}\int\limits^{\pi }_{-\pi }sin\, nx\, dx\Big )==\frac{1}{\pi }\cdot \Big (0+\frac{6}{n^2}\cdot cos\, nx\Big |_{-\pi }^{\pi }\Big )=\frac{1}{\pi }\cdot \frac{6}{n^2}\cdot \Big (cos\pi n-cos(-\pi n)\Big )=0 \end{gathered}
=
π
1
(
n
6x−2
⋅sinnx
∣
∣
∣
∣
−π
π
−
n
6
−π
∫
π
sinnxdx)=
=
π
1
⋅(0+
n
2
6
⋅cosnx
∣
∣
∣
∣
−π
π
)=
π
1
⋅
n
2
6
⋅(cosπn−cos(−πn))=0
\begin{gathered}b_{n}=\frac{1}{\pi }\int\limits^{\pi }_{-\pi }f(x)sin\, nx\, dx=\frac{1}{\pi }\int\limits^{\pi }_{-\pi }(6x-2)\cdot sin\, nx\, dx==[u=6x-2,\; du=6dx,\; dv=sin\, nxdx,\; v=-\frac{1}{n}cos\, nx]==\frac{1}{\pi }\cdot \Big (-\frac{6x-2}{n}cos\, nx\Big |_{-\pi }^{\pi }+\frac{6}{n}\int\limits^{\pi }_{-\pi }cos\, nx\, dx\Big )==-\frac{1}{\pi n}\cdot \Big ((6\pi -2)\cdot cos\, \pi n-(-6\pi -2)\cdot cos(-\pi n)\Big )++\frac{6}{\pi n^2}\cdot sin\, nx\Big |_{-\pi }^{\pi }==-\frac{1}{\pi n}\cdot \Big ((6\pi -2)\cdot (-1)^{n}+(6\pi +2)\cdot (-1)^{n}\Big )+0=\end{gathered}
b
n
=
π
1
−π
∫
π
f(x)sinnxdx=
π
1
−π
∫
π
(6x−2)⋅sinnxdx=
=[u=6x−2,du=6dx,dv=sinnxdx,v=−
n
1
cosnx]=
=
π
1
⋅(−
n
6x−2
cosnx
∣
∣
∣
∣
−π
π
+
n
6
−π
∫
π
cosnxdx)=
=−
πn
1
⋅((6π−2)⋅cosπn−(−6π−2)⋅cos(−πn))+
+
πn
2
6
⋅sinnx
∣
∣
∣
∣
−π
π
=
=−
πn
1
⋅((6π−2)⋅(−1)
n
+(6π+2)⋅(−1)
n
)+0=
\begin{gathered}= \frac{(-1)^{n}}{\pi n}\cdot (6\pi -2+6\pi +2)=\frac{(-1)^{n}\cdot 12\pi }{\pi n}=\frac{(-1)^{n}\cdot 12}{n}f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum\limits _{n=1}^{\infty }\Big (a_{n}\cdot cos\, nx+b_{n}\cdot sin\, nx\Big )f(x)=-4+\sum \limits _{n=1}^{\infty }\Big (\frac{(-1)^{n}\cdot 12}{n}\cdot sin\, nx\Big )= -4+12\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n}sin\, nx}{n}\end{gathered}
=
πn
(−1)
n
⋅(6π−2+6π+2)=
πn
(−1)
n
⋅12π
=
n
(−1)
n
⋅12
f(x)∼
2
a
0
+
n=1
∑
∞
(a
n
⋅cosnx+b
n
⋅sinnx)
f(x)=−4+
n=1
∑
∞
(
n
(−1)
n
⋅12
⋅sinnx)=−4+12
n=1
∑
∞
n
(−1)
n
sinnx
Да, данная сумма чисел делится на 2007.
Пошаговое объяснение:
Преобразуем сумму 1 + 2 + 3 + + 2005 + 2006 + 2007 к следующему виду:
1 + 2 + 3 + + 2005 + 2006 + 2007 = 2007 + 1 + 2006 + 2 + 2005 + 3 + 2004 + ... + 1003 + 1004 = 2007 + (1 + 2006) + (2 + 2005) + (3 + 2004) + ... + (1003 + 1004).
Сумма каждой пары слагаемых внутри скобок равна 2007, а всего общее количество таких пар слагаемых составляет 1003, следовательно можем записать:
2007 + (1 + 2006) + (2 + 2005) + (3 + 2004) + ... + (1003 + 1004) = 2007 + (2007) + (2007) + ( 2007) + ... + (2007) = 2007 + 1003 * 2007 = 2007 * (1 + 1003) = 2007 * 1004.
ответ: данная сумма чисел делится на 2007.
35: 35, 70, 85. 140
Відповідь: найменше кратне чисел 14 і 35 є число 70
10: 10, 20, 30, 40
30: 30, 60, 90, 120
Відповідь: найменше кратне чисел 10 і 30 є число 30
(8: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88, 96, 104 112,120, 128, 136, 144, 152 ,160,168, 176, 184, 192, 200, 208, 216, 224, 232,240 , 248, 256, 264, 272 , 280, 21: 21, 42, 63, 84, 105, 126, 147, 168, 189, 210, 231,252, 273, 294) ти мабуть написала не те число, перевірь
36: 36,72 108
54: 54, 108
Відповідь: найменше кратне чисел 36 і 54 є число 108
630: 630, 1260,1890, 2520,3150, 3780, 4410, 5040
560: 560, 1120,1680, 2240, 2800, 3360, 3920, 4480,5040
Відповідь: найменше кратне чисел 630 і 560 є число 5040
12: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96 108 120 132 144 156 168
16: 16,. 32 ,48, 64, 80,96 112 128 144 160
18: 18,36, 54,72,90, 108 126 144
Відповідь: найменше кратне чисел 12 і 16 і 18 є число 144