3.2. Комплексные числа
Понятие мнимой единицы
Допустим, что существует такое число, квадрат которого равен – 1. Обозначим это число буквой i; тогда можно записать: .Число i будем называть мнимой единицей (i – начальная буква французского слова imaginaire – “мнимый”), а предыдущее равенство будем считать определением мнимой единицы.
Из этого равенства находим . Введение мнимой единицы позволяет нам теперь извлекать корни квадратные из отрицательных чисел. Например,
Определение комплексного числа
Мы знакомы с действительными числами и с мнимыми единицами. Рассмотрим теперь числа нового вида.
Числа вида – действительные числа, i – мнимая единица, будем называть комплексными.
Число a будем назвать действительной частью комплексного числа, bi – мнимой частью комплексного числа, b – коэффициентом при мнимой части. Возможны случаи, когда действительные числа a и b могут быть равными нулю. Если a = 0, то комплексное число bi называется чисто мнимым. Если b = 0, то комплексное число a + bi равно a и называется действительным. Если a = 0 и b = 0 одновременно, то комплексное число 0 + 0i равно нулю. Итак, мы получили, что действительные числа и чисто мнимые числа представляют собой частные случаи комплексного числа.
Запись комплексного числа в виде a + bi называется алгебраической формой комплексного числа.
Два комплексных числа a + bi и c + di условились считать равными тогда и только тогда, когда в отдельности равны их действительные части и коэффициенты при мнимой единице, т. е. a + bi = c + di, если a = c и b = d.
Действия над комплексными числами в алгебраической форме
Сложение, вычитание, умножение комплексных чисел в алгебраической форме производят по правилам соответствующих действий над многочленами.
Даны комплексные числа z1 = 2 + 3i, z2 = 5 – 7i. Найти:
а) z1 + z2; б) z1 – z2; в) z1z2.
Решение.
а) z1 + z2 = (2 + 3i) + (5 – 7i) = 2 + 3i + 5 – 7i = (2 + 5) + (3i – 7i) = 7 – 4i;
б) z1 – z2 = (2 + 3i) – (5 – 7i) = 2 + 3i – 5 + 7i = (2 – 5) + (3i + 7i) = – 3 + 10i;
в) z1z2 = (2 + 3i)(5 – 7i) = 10 – 17i + 15i – 21i2 = 10 – 14i + 15i + 21 = (10 + 21) + (– 14i + 15i) = 31 + i
(здесь учтено, что i2 = – 1).
Замечание. При выполнении умножения можно использовать формулы:
(ab)2 = a2 2ab + b2,
(a b)3 = a3 3a2b + 3ab b3.
Два комплексных числа называются сопряженными, если они отличаются друг от друга только знаками перед мнимой частью.
Геометрическая интерпретация комплексного числа
Комплексное число z = a + bi можно изобразить точкой Z плоскости с координатами (a; b). Для этого выберем на плоскости декартову прямоугольную систему координат. Действительные числа изображаются точками оси абсцисс, которую называют действительной (или вещественной) осью; чисто мнимые числа – точками оси ординат, которую будем называть мнимой осью.
Каждой точке плоскости с координатами (a; b) соответствует один и только один вектор с началом O(0; 0) и концом Z(a; b). Поэтому комплексное число z = a + bi можно изобразить в виде вектора с началом в точке O(0; 0) и концом в точке Z(a; b).
Предыдущая | Главная | Глава 3 | Следующая
Пошаговое объяснение:
задача решается при кругов Эйлера
у нас
всего 35
ф =24
в = 18
б =12
ф+в =10
ф+б = 8
в+б =5
будем смотреть на круги и считать
если мы сложим ф+в просто как 24+18 то увидим, что те, кто занимается двумя этими видами одновременно, учтутся 2 раза. поэтому правильное объединение множеств будет ф∪в = 24+18-10
если мы сюда добавим баскетбол просто как 12, то увидим, что дважды учтутся те, кто занимается ф+б и в+б. поэтому их надо тоже вычесть
т.о. получится такое объединение множеств ф∪в∪б = 24+18-10+12-8-5
но при этом те, кто занимается сразу всеми видами отнялись дважды.
поэтому их надо прибавить еще раз. их у нас Х.
вот, получили формулу
ф∪в∪б = 24+18-10+12-8-5+ Х =35
31+Х=35
Х=4
теперь заполним круги и проверим весь счет
Ф =10+6+4+4=24
в = 7+6+4+1=18
б = 4+4+1+3=12
ф+в 6+4=10
в+б = 4+1=5
ф+б = 4+4 = 8
10+6+7+4+4+1+3=35
круги Эйлера построены верно, задача решена верно - сразу тремя видами спорта занимаются 4 ученика
