Пусть в основании пирамиды лежит квадрат ABCD со стороной 4,2. Пусть Е - вершина пирамиды. Пусть О - центр квадрата, то есть точка пересечения его диагоналей АС И ВD. FO=2 - это высота пирамиды.
1) Проведем из точки О перпендикуляр к стороне АВ (обозначим буквой М точку пересечения перпендикуляра со стороной АВ). Точка М разделит сторону АВ на две равных части АМ И МВ. Соединим М и F.
2) Рассмотрим треугольник MOF. Он прямоугольный, поскольку FO - высота. FM - гипотенуза. FO=2 - катет. OM = 4,2:2 = 2,1 - катет. FM^2 = FO^2 + OM^2 FO^2 = 2^2 + 2,1^2 = 4+4,41 = 8,41 FO = 2,9 - высота, медиана и биссектриса боковой грани AFB, поскольку AF=FB и АМ=АВ.
3) Площадь квадратного основания призмы равна: Sосн. = АВ • CD Sосн. = 4,2 • 4,2 = 17,64
4) Площадь одной из четырёх одинаковых треугольных боковых граней, например AFB, равна: Sбок.гр. = FМ•AB/2 Sбок.гр. = 2,9 • 4,2 / 2 = 2,9 • 2,1 = 6,09
5) Площадь полной поверхности равна: Sполн.пов. = Sосн. + 4•Sбок.гр. Sполн.пов. = 17,64 + 4 • 6,09 = = 17,64 + 24,36 = 42
Докажем, что при любом натуральном и выражение А(n) = 4n + 15n - 1 кратно 9. Используем стандартную схему доказательства: 1. При n = 1 выражение A(1) = 41 + 15 · 1 - 1 = 18 кратно 9. 2. Предположим, что при n = k выражение А(k) = 4k + 15k - 1 кратно 9, т. е. 4k + 15k - 1 = 9р (где р - натуральное число). 3. При n = k + 1 надо доказать, что выражение А(k +1) = 4k+1 + 15(k + 1) - 1 делится на 9. Для доказательства можно использовать два й Поступим, как и в примере 1, т. е. выделим в выражении А(k + 1) часть А(k), которая делится на 9. Для этого преобразуем выражение А(k + 1) к виду А(k +1) = 4k+1 + 15k + 14 = 4(4k + 15k - 1) – 45k + 18 = 4 А(k) + 9(2 – 5k). Видно, что выражение А(k + 1) является суммой двух слагаемых, каждое из которых делится на 9. Сложность этого состоит в умении в выражении А(k + 1) выделить часть А(k), т. е. догадаться до преобразования 4k+1 + 15k + 14 = 4(4k + 15k - 1) – 45k + 18. Поэтому рассмотрим другой лишенный такого недостатка. 2-й Из выражения 4k + 15k - 1 = 9р (пункт 2) найдем 4k = 9р + 1 – 15k и подставим в выражение А(k +1) = 4k+1 + 15k + 14 = 4(9p + 1 – 15k) + 15k + 14 = 36p + 18 – 45k. Видно, что выражение A(k + 1) состоит из трех слагаемых, каждое из которых делится на. 9. Связь между пунктами 2 и 3 была обеспечена за счет того, что в пункте 2 была найдена величина 4k и подставлена в выражение пункта 3. Заметим, что если на число п накладываются по условию задачи ограничения, то необходимо ввести новое натуральное число т и свести задачу к старой схеме.
Все числа кратны своему делителю. Если мы найдем, что число без остатка ДЕЛИТСЯ на 3 или 9, то это будет означать, что ОНО им КРАТНО. Числа в данных примерах состоят из одинаковых цифр. Когда будем складывать цифры чисел, чтобы понять , соответствуют ли они признакам делимости а 3 и 9, мы увидим, что СЛОЖЕНИЕ цифр можно заменить УМНОЖЕНИЕМ. 1) признак делимости на 3: сумма цифр делится на 3 - сумма цифр ( 444 444 ) = 6 · 4 = 3 · 2 · 4 = 24. Даже не проводя действие: 24:4=8 в доказательство того, что сумма цифр числа делится на 3 без остатка, мы видим, что 3 - является СОМНОЖИТЕЛЕМ суммы цифр, ⇒число делится на 3, ⇒ число кратно 3. - сумма цифр ( 777 777 777 777) = 3 · 4 ·7 = 84; ( сумма цифр числа состоит из ТРЕХ семерок , взятых 4 раза. Т.е тройка будет входить в сомножители суммы цифр числа) 84:3=28. ⇒ сумма цифр делится на 3; ⇒ число кратно 3. ответ: данные числа кратны 3. 2) признак делимости на 9: Сумма цифр делится на 9. - сумма цифр (111 111 111) = 9 · 1 = 9; (9 является сомножителем в сумме цифр числа ⇒ число делится) - сумма цифр (888 888 888) = 9 · 8 = 72; ( 9 является сомножителем суммы цифр числа). Число делится на 9, ⇒ кратно 9. - сумма цифр числа (9 999 999) = 7 · 9 = 72; (9 входит в число делителей суммы цифр числа,⇒ число делится на 9 ⇒ число кратно 9) - сумма цифр числа(666 666 666 666) = 4 · 3 · 6 = 4 · 3 · 2 · 3 = 3 · 3 · 4 · 2 = 9 · 8 = 72. (9 входит в число сомножителей суммы цифр числа,⇒число делится на 9, ⇒ число кратно 9) ответ: данные числа кратны 9. Утверждения 1) и 2) верны.
Пусть Е - вершина пирамиды. Пусть О - центр квадрата, то есть точка пересечения его диагоналей АС И ВD.
FO=2 - это высота пирамиды.
1) Проведем из точки О перпендикуляр к стороне АВ (обозначим буквой М точку пересечения перпендикуляра со стороной АВ). Точка М разделит сторону АВ на две равных части АМ И МВ.
Соединим М и F.
2) Рассмотрим треугольник MOF. Он прямоугольный, поскольку FO - высота.
FM - гипотенуза.
FO=2 - катет.
OM = 4,2:2 = 2,1 - катет.
FM^2 = FO^2 + OM^2
FO^2 = 2^2 + 2,1^2 = 4+4,41 = 8,41
FO = 2,9 - высота, медиана и биссектриса боковой грани AFB, поскольку AF=FB и АМ=АВ.
3) Площадь квадратного основания призмы равна:
Sосн. = АВ • CD
Sосн. = 4,2 • 4,2 = 17,64
4) Площадь одной из четырёх одинаковых треугольных боковых граней, например AFB, равна:
Sбок.гр. = FМ•AB/2
Sбок.гр. = 2,9 • 4,2 / 2 = 2,9 • 2,1 = 6,09
5) Площадь полной поверхности равна:
Sполн.пов. = Sосн. + 4•Sбок.гр.
Sполн.пов. = 17,64 + 4 • 6,09 =
= 17,64 + 24,36 = 42
ответ: 42.