Question

Знайти загальний розв'язок диференціального рівняння x^2*y''+6y'+6y=0 якщо відомий його частинний розв язок y=x^-2

Answer 1

Застосуємо формулу Ліувілля-Остроградського.

$\displaystyle \int^x_{x_0}\dfrac{6}{t^2}dt=-\dfrac{6}{t}\bigg|^x_{x_0}=-\frac{6}{x}+\frac{6}{x_0}$

$\left|\begin{array}{ccc}y_1& y_2\\ y_1'& y_2'\end{array}\right|=W_0(x)e^\big{-\frac{6}{x}+\frac{6}{x_0}}=\dfrac{W_0(x)}{e^\big{-\frac{6}{x_0}}}\cdot e^\big{-\frac{6}{x}}=C_1e^\big{-\frac{6}{x}}$

де $C_1$ — постійна константа.

За означення визначника, отримаємо

$y'_2y_1-y_2y_1'=C_1e^\big{-\frac{6}{x}}~~~~\Rightarrow~~~~\dfrac{y_2'y_1-y_2y_1'}{y_1^2}=\dfrac{C_1e^\big{-\frac{6}{x}}}{y_1^2}\\ \\ \bigg(\dfrac{y_2}{y_1}\bigg)'=\dfrac{C_1e^\big{-\frac{6}{x}}}{y_1^2}=\dfrac{C_1e^\big{-\frac{6}{x}}}{(x^{-2})^2}=C_1x^4e^\big{-\frac{6}{x}}\\ \\ \displaystyle \frac{y_2}{y_1}=\int C_1x^4e^\big{-\frac{6}{x}}dx~~~~\Rightarrow~~~\boxed{y_2=x^{-2}C_1\int x^4e^\big{-\frac{6}{x}}dx}$