Для розв'язання задачі нам потрібно спочатку знайти координати точок C та D.
Оскільки CD - це відрізок, то можемо вважати, що точки С та D мають координати (0, 0, 0) та (d, 0, 0), де d - довжина відрізка CD.
Далі з умови задачі отримуємо, що координати точок A та B мають вигляд (0, 0, a) та (m, b, a), відповідно.
Оскільки пряма AA паралельна прямій BM, то вектор, що сполучає точки A та B, буде паралельний прямій AA. Отже, можемо записати:
AB = (m, b, a) - (0, 0, a) = (m, b, 0)
Також з умови задачі маємо:
CD = d
CA:AD = 2:1
Оскільки CD і CA є векторами з початком у точці C, то можемо використати формулу векторного добутку, щоб знайти вектор, перпендикулярний площині a:
n = CD x CA
За теоремою про прямокутність векторів відомо, що n буде перпендикулярним до площини a.
З формули векторного добутку маємо:
n = CD x CA = (d, 0, 0) x (0, 0, a) = (0, ad, 0)
Отже, можемо записати рівняння площини a у параметричному вигляді:
ax + by = 0, де a = 0, b = ad
Також з умови задачі відомо, що пряма, що проходить через точки D і A, паралельна прямій BM. Отже, вектор, сполучаючий точки D і A, буде паралельним вектору BM:
DA = (m, b, a) - (d, 0, 0) = (m - d, b, a)
Оскільки пряма DA паралельна вектору, перпендикулярному площині a, то ми можемо записати:
n * DA = 0
Де n і DA - вектори площини і лінії відповідно, * - оператор скалярного добутку векторів.
Підставляючи вектори n і DA, отримуємо:
0 + adb + 0 = 0
Звідси маємо:
db = 0
Оскільки точки D і A не співпадають, то маємо b ≠ 0. Тому можемо ділити обидві частини рівняння на b. Отримуємо:
d = 0
Отже, отримали, що точки C і D співпадають. Це означає, що відрізок CD має довжину 0.
З умови задачі відомо, що CA:AD = 2:1, тому можемо записати:
AD = x
CA = 2x
Звідси маємо, що точки C і A мають координати (2x, 0, 0) та (0, 0, x), відповідно.
Також з умови задачі відомо, що пряма AA паралельна прямій BM, тому можемо записати:
AA = λBM, де λ - параметр
BM = (m, b, a) - (2x, 0, 0) = (m - 2x, b, a)
Отже, ми маємо:
AA = λ(m - 2x, b, a)
Для знаходження параметра λ використаємо умову, що точка А лежить на прямій AA:
AA * AO = 0
AXB = (a1b2 - a2b1) - векторний добуток векторів А і В
Отримаємо:
λ(m - 2x, b, a) * (0, 0, x) = 0
Звідси маємо:
λx^2 = 0
Оскільки x ≠ 0, то маємо λ = 0. Отже, точки A і B не співпадають.
Тепер можемо знайти довжину відрізка AA:
|AA| = |λ(m - 2x, b, a)|
|AA| = |0| = 0
Отже, довжина відрізка AA дорівнює 0.
