Question

Найти пределы, не пользуясь правилом лопиталя.

Answer 1

$\displaystyle \lim_{x \to \infty}\frac{8x^4-4x^2+3}{2x^4+1}=\lim_{x \to \infty}\frac{8-\frac{4}{x^2}+\frac{3}{x^4}}{2+\frac{1}{x^4}}=\frac{8-0+0}{2+0}=4\\ \\ \\ \lim_{x \to 3}\frac{3x^2+5x-42}{x^2-5x+6}=\lim_{x \to 3}\frac{3x^2-9x+14x-42}{x^2-2x-3x+6}=\lim_{x \to 3}\frac{3x(x-3)+14(x-3)}{x(x-2)-3(x-2)}=\\ \\ =\lim_{x \to 3}\frac{(x-3)(3x+14)}{(x-2)(x-3)}=\lim_{x \to 3}\frac{3x+14}{x-2}=\frac{3\cdot3+14}{3-2}=23$

$\displaystyle \lim_{x \to 2}\frac{x^2-3x+2}{\sqrt{5-x}-\sqrt{x+1}}=\lim_{x \to 2}\frac{(x^2-x-2x+2)(\sqrt{5-x}+\sqrt{x+1})}{(\sqrt{5-x}-\sqrt{x+1})(\sqrt{5-x}+\sqrt{x+1})}=\\ \\ =\lim_{x \to 2}\frac{(x-1)(x-2)(\sqrt{5-2}+\sqrt{2+1})}{5-x-x-1}=\lim_{x \to 2}\frac{2\sqrt{3}(x-2)}{4-2x}=\\ \\ =2\sqrt{3}\lim_{x \to 2}\frac{x-2}{-2(x-2)}=-\sqrt{3}$

Answer 2

а) ответом на этот пример будет отношение коэффициентов при старших степенях переменной  числителя и знаменателя, поскольку в числителе и знаменателе - стандартные многочлены 4-й степени и х стремится к ∞;   8/2=4

б)Разложим предварительно многочлены на линейные множители.

3х²+5х-42=0; х₁,₂=(-5±√(25+3*4*42) )/6=(-5±√529)/6=(-5±23)/6; х₁=3; х₂=-14/3; 3х²+5х-42=3*(х-3)(х+14/3)=(х-3)(3х+14); х²-5х+6=0, по теореме, обратной теореме Виета х₁=2; х₂=3; х²-5х+6=(х-2)(х-3). Разделим числитель на знаменатель, с учетом разложений.

(3х²+5х-42)/(х²-5х+6)=(х-3)(3х+14)/(х-2)(х-3)=(3х+14)(х-2). предел от (3х+14)(х-2) при х стремящемся к 3, равен (3*3+14)(3-2)=9+14=23

в) разложение числителя х²-3х+2 , предварительно с подсчитанными по теореме, обратной теореме Виета корнями уравнения х²-3х+2=0,  х₁=1; х₂=2,  примет вид х²-3х+2=(х-1)*(х-2). Домножим числитель и знаменатель на скобку (√(5-х)+√(х+1)), сопряженную знаменателю. В знаменателе вырисовалась разность квадратов (а-в)*(а+в)=а²-в², т.е. (5-х)-(х+1)=5-х-х-1=4-2х=-2*(х-2), а числитель примет вид  

(√(5-х)+√(х+1))*(х-1)(х-2). После деления числителя на знаменатель получим

((√(5-х)+√(х+1))*(х-1)(х-2))/(-2*(х-2))=-((√(5-х)+√(х+1))*(х-1))/(2*(х-1)), подставим вместо х=2, получим -(√3+√3)(2-1)/(2*(2-1))=-2√3/2=-√3