Question

Дали д/з с подвохом. : с 1. придумайте такое нецелое число, что 15% и 33% от него - целые числа? 2. найдите сумму: 100^2-99^2+98^2-97$2++2^2-1^2. 3. встретились несколько друзей. каждый из них обменялся с каждым, кроме федота бурчеева, который, будучи не в духе, некоторым руку, а некоторым - нет. 6. был квадратный трёхчлен х^2+10x+12. за один ход разрешается менять на единицу свободный член или коэффициент при х. после нескольких таких операций получили трехчлен х^2+12x+10. докажите, что в некоторый момент был трехчлен с целым корнем.

Answer 1

1. Это число 33,(3).
2. Применим формулу разность квадратов: 
$100^2-99^2+98^2-97^2+\ldots+2^2-1^2=\\=(100+99)(100-99)+(98+97)(98-97)+\ldots+(2+1)(2-1)=\\=199+195+\ldots+3$
Это арифметическая прогрессия из 50 членов с шагом -4
$a_1=199,\;d=-4,\;a_{50}=3\\S_{50}=\frac{a_1+a_{50}}2\cdot n=\frac{199+3}2\cdot50=101\cdot50=5050$
3. Пусть всего x друзей, не считая Федота. Они совершили $\frac{x(x-1)}2$ рукопожатий. По условию
$\frac{x(x-1)}2$
x - натуральное число, поэтому
$x\leq20$
Если друзей не считая Федота было 20, то ими было совершено 20*(20-1)/2 = 190 рукопожатий. Федот руку 197-190 = 7 раз.
Если их было 19, то рукопожатий было 19*(19-1)/2 = 171. Выходит, что Федот руку 197-171 = 26 раз. Не подходит.
При x<19 Федот будет жать всё больше и больше рук.
ответ: он рук.

6. Пусть в данный момент коэффициент при x равен p, а свободный член равен q. Дискриминант равен $p^2-4q$. Для того, чтобы корень уравнения был целым числом нужно, чтобы дискриминант был равен квадрату целого числа. По условию задачи $p^2$ может быть равно 100, 121 или 144, 4q может быть равно 40, 44 или 48. Из всех вариантов дискриминант будет квадратом целого числа при $p=11,\;q=10$ и при $p=12,\;q=11$
По теореме Виета 
$\begin{cases}x_1+x_2=-p\\x_1x_2=q\end{cases}$
Очевидно, что если при целых p и q один корень целый, то и второй должен быть целым. В таком случае равенство $x_1x_2=11$ выполняться не будет.
Значит, p = 11, q = 10.