1. Системи рівнянь, розвязування систем лінійних рівнянь
Поняття системи та її розвязків
Означення: Якщо ставиться завдання знайти всі спільні розвязки двох (або більше) рівнянь з однією або кількома змінними, то кажуть, що треба розвязати систему рівнянь.
Означення: Розвязком системи — таке значення змінної або такий упорядкований набір значень зміниих, що задовольняє одразу всім рівнянням системи, тобто розвязком системи двох або більше рівнянь з невідомими називається така упорядкована множина множина з чисел, при підстановці яких у систему замість невідомих усі рівняння перетворюються на правильні числові рівності.
Означення: Розвязати систему рівнянь — знайти всі її розвязки або довести, що їх немає.
Якщо система не має розвязку, то вона є несумісна.
Приклади систем
— система двох рівнянь з двома змінними
Пара тобто —розвязок системи
— система трьох рівнянь з трьома змінними
Трійка тобто — один із розвязків системи
Схема розвязування систем рівнянь
Графічний метод
Виконуємо рівносильні перетворення, так, щоб було зручно побудувати графік функції. Наприклад:
Будуємо графіки.
Знаходимо точки перетину графіків. Координати цих точок і є розвязком даної системи рівнянь.
Метод підстановки
З одного рівняння системи виражаємо одну змінну через іншу, завжди обираємо зручну змінну. Наприклад, з рівняння виражаємо змінну а не навпаки.
Знайдене значення підставляємо у інше рівняння системи, і одержуємо рівняння з однією змінною.
Розвязуємо одержане рівняння
Знайдене значення підставляємо у виражене рівняння, і знаходимо значення другої змінної.
Метод додавання
Урівнюємо коефіцієнти при одній зі змінних шляхом по членного множення обох рівнянь на множники, підібрані відповідним чином.
Додаємо (або віднімаємо) почленно два рівняння системи, тим чином виключається одна змінна.
Розвязуємо одержане рівняння.
Підставляємо знайдене значення змінної у будь-яке з вихідних рівнянь.
Приклади розвязування систем рівнянь
Розвязування графічним методом
Приклад 1
Розвяжіть рівняння:
Розвязання:
Будуємо графіки
Побудувавши графіки побачимо, що графіки перетинаються в точці
Відповідь:
Розвязування методом підстановки
Приклад 2
Розвяжіть рівняння:
Розвязання:
З першого рівняння виражаємо А одержаний вираз підставляємо в друге рівняння системи:
Одержане значення підставляємо у вираз
Відповідь:
Розвязування методом додавання
Приклад 3
Розвяжіть рівняння:
Розвязання:
Маємо позбутись змінної Множимо почленно перше рівняння системи на 3, а друге – на 2.
Додаємо почленно рівняння і одержуємо:
Знаходимо значення з першого рівняння системи:
Відповідь:
Зауваження: В методі додавання можна множити не тільки на додатні числа, а і на відємні.
Сейчас об этом думают инженеры, ученые, все население нашей Земли. Почему в наше время больших открытий и достижений проблема охраны природы стала такой важной и необходимой? Если мы вовремя не окажем природе, она умрет. Что же тогда произойдет на Земле? Земля погибнет. И в этом будет полная вина человечества.
Как же я могу природе, защитить её. Это сначала кажется все легко и просто. Нет, это очень трудоемкая работа, которая требует не пять и даже не 10 лет, она требует всю жизнь. Чтобы природе, нужны знания и умения. Получить их можно из книг, опыта других людей, собственных наблюдений. Окружающая нас природа полна интереснейших фактов, глубочайших тайн и любопытнейших загадок.
В настоящее время я могу лишь немногое. Например, подкармливать и даже животных, попавших в беду; бороться с мусором – ведь это огромная проблема 21 века; так же я могу изготавливать кормушки и домики для птиц; оказывать больным деревьям и кустарникам. На месте старых, погибших растений я могу посадить новые и в дальнейшем за ними ухаживать. Если вдруг на деревьях я увижу ранки, то обязательно замажу их воском, глиной или пластилином. Иногда бывают случаи, когда дует сильный ветер, и деревья ломаются. Если такое произойдет, то я уберу поваленные деревья, которые уже нельзя а у остальных осторожно удалю сломанные ветви, кое-где замажу ранки и поставлю подпорки. Одно из направлений природоохранной деятельности – сохранение богатств природы: экономное использование воды, газа, бумаги, тепла, электричества; сбор металлолома и макулатуры. Чтобы сохранить хоть частичку природных богатств все людям необходимо соблюдать следующие правила: