Question

Решить дифференциальное уравнение y штрих=(x-y)^2+1 если можно поточнее

Answer 1

$y'=(x-y)^2+1; y'-1=(y-x)^2; (y-x)'=(y-x)^2;$

замена y-x=u(x); $\frac{du}{dx}=u^2;$

одно из решений u=0; y-x=0; y=x;

$\frac{du}{u^2}=dx; \int\frac{du}{u^2}=\int\, dx; -\frac{1}{u}=x+C; u=-\frac{1}{x+C}; y=x-\frac{1}{x+C}$

ответ:$\left [ {{y=x} \atop {y=x-\frac{1}{x+C}}} \right.$

Answer 2

$y'=(x-y)^2+1$

Пусть $x-y=t$, тогда $(x-y)'=t'~~~\Rightarow~~~ 1-y'=t'$  откуда  $y'=1-t'$, частное решение y - x=0 откуда у = х, тогда получаем

$1 - t'=t^2+1\\ \\ t'=-t^2$

Последнее дифференциальное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными.

$\dfrac{dt}{dx}=-t^2~~~\Rightarrow~~~~\displaystyle -\int\dfrac{dt}{t^2}=\int dx~~~\Rightarrow~~~\frac{1}{t}=x+C$

Выполнив обратную замену, получим

$\dfrac{1}{x-y}=x+C~~~\Rightarrow~~~x-y=\dfrac{1}{x+C}~~~\Rightarrow~~~ \boxed{y=x-\dfrac{1}{x+C}}$

Получили общее решение дифференциального уравнения

ответ: $\displaystyle \left[\begin{array}{ccc}y=x-\dfrac{1}{x+C}\\ \\ y=x\end{array}\right$