Question

Остаток сумм пусть – остаток от деления на . найдите остаток при делении числа на 4000.

Answer 1

 
 $\frac{(n+1)^3}{n^3}=1+\frac{3}{n}+\frac{3}{n^2}+\frac{1}{n^3}\\ a_{1}=\frac{2^3}{1}=1+\frac{3}{1}+\frac{3}{1^2}+\frac{1}{1}\\ a_{2}=\frac{3^3}{2^3}=1+\frac{3}{2}+\frac{3}{2^2}+\frac{1}{2^3}\\ a_{3}=\frac{4^3}{3^3}=1+\frac{3}{3}+\frac{3}{3^2}+\frac{1}{3^3}\\ a_{4}=\frac{5^3}{4^3}=1+\frac{3}{4}+\frac{3}{4^2}+\frac{1}{4^3}\\ ...\\ a_{4002}=1+\frac{3}{4002}+\frac{3}{4002^2}+\frac{1}{4002^3} \\\\ \frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{4002}}{4000}=\\ \frac{2+3(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}..+..\frac{1}{4002})..}{4000}$ 
так как $1+\frac{1}{2} + \frac{1}{3}+\frac{1}{4}...+...\frac{1}{4002}$ это оценка позволяет осознать то что  $10$, так же с 
  так ка $\frac{1}{n}\frac{1}{n^2}$ то 
 следующая сумма дробкей так же меньше $S$
 $\frac{1}{1^3}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{4^3}...+...\frac{1}{4002^3}$
 
 то есть остаток равен 
 $2+3(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}...+...\frac{1}{4002})$ +  $3(1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}...+...\frac{1}{4002^2})$+  $\frac{1}{1^3}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{4^3}...+...\frac{1}{4002^3}$