а) да; б) нет; в) 972
Пошаговое объяснение:
а) Пусть геометрическая прогрессия имеет знаменатель . Тогда получим последовательность
. Число 686 может быть записано на доске.
б) Заметим, что знаменатель прогрессии q не может быть иррациональным числом: в противном случае второй член прогрессии b₂ = 128q — иррациональное число, что противоречит условию. Значит, q — рациональное число.
Предположим, что 496 является n-ным членом последовательности. Тогда . Поскольку 31 — простое число, оно не является степенью какого-либо другого числа. Значит, n = 1,
. Тогда получаем геометрическую прогрессию
— третий член последовательности не трёхзначный, что противоречит условию. Значит, прогрессии с членом 496 не существует.
в) Пусть A — наибольший возможный член геометрической прогрессии, по условию A < 1000. Тогда . Число
является степенью некоторого рационального числа, значит,
, где k — некоторое целое число из промежутка [0, 7], a — положительное нечётное число. Число представимо в таком виде, поскольку на
можно сократить, в знаменателе останется
, далее дробь несократима и является степенью n = 7 - k числа q:
. Значит,
.
Переберём все k от 0 до 7:
k = 0:Наибольшее значение A = 972. Покажем, что оно достигается. Пусть . Тогда
Таким образом, наибольшее число, которое могла выписать Даша — 972.
460*30%=138 детей
или
460*70%=322 - взрослых
460-322=138 детей