Математика: Найти интервалы монотонности функции

Пошаговое объяснение:ОДЗ: х-1≠0 х≠1.1) определим вертикальные асимптоты:х=1.x=1 - вертикальная асимптота.2) определим наклонные асимптоты:y=x+1 - наклонная асимптота.ответ: х=1, у=х+1.ОДЗ: х-1≠0 х≠1.1) определим вертикальные асимптоты:х=1.x=1 - вертикальная асимптота.2) определим наклонные асимптоты:y=2x+1 - наклонная асимптота.ответ: х=1, у=2х+1.ОДЗ: 2x²-x-1≠02x^2-2x+x-1≠02x*(x-1)+(x-1)≠0(x-1)*(2x+1)≠0x-1≠0x≠12x+1≠0x≠-0,5.1) определим вертикальные асимптоты:x=1.x=1 и х=-0,5 - вертикальные...

Найти интервалы монотонности функции

👇

Увидеть ответ

Ответ:

ДаРуСя10

04.03.2023

Производная функции равна y' = -(x + 1)/(x- 1)³.

Приравняв нулю, получаем критическую точку х = -1.

С учётом того, что функция в точке х = 1 терпит разрыв, имеем 3 промежутка монотонности функции: (-∞; -1), (-1; 1) и (1; +∞).

Находим знаки производной на полученных промежутках.

х = -2 -1 0 1 2

y' = -0,037 0 1 - -3 .

Отсюда получаем ответ: на промежутках (-∞; -1) и (1; +∞) функция убывает, на промежутке (-1; 1) - возрастает.

4,4(9 оценок)

Открыть все ответы

Ответ:

StepanDor

04.03.2023

Пошаговое объяснение:

наклонную асимптоту ищем в виде y=ax+b

из определения асимптоты

$\lim_{x\to \infty} (kx+b-y(x) )$

найдем k и b

$k= \lim_{x \to \infty} \frac{y(x)}{x} \\b= \lim_{x \to \infty} (y(x)-kx)$

потом найдем точки разрыва и посмотрим их пределы слева и справа

и определим вертикальные асимптоты

итак, с теорией разобрались, поехали с примерами

$y= \frac{x^2+1}{x-1} \\k= \lim_{x \to \infty} ( \frac{x^2+1}{x-1}) / x= \frac{x^2+1}{x^2-x}=1\\b= \frac{x^2+1}{x-1}-x= 1$

наклонная асимптота у = х + 1

теперь вертикальные

х=1 точка разрыва. смотрим пределы

$\lim_{1 \to {1-0}} \frac{x^2+1}{x-1}=-\infty\\\lim_{1 \to {1+0}} \frac{x^2+1}{x-1}=+\infty\\$

это точка разрыва II рода и вертикальная асимптота х = 1

$y=\frac{2x^2-x+3}{x-1} \\k= \lim_{x \to \infty} (\frac{2x^2-x+3}{x-1} )/x=2\\b= \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2-x+3}{x-1} -2x=1\\$

наклонная асимптота у = 2х + 1

теперь вертикальные

х=1 точка разрыва. смотрим пределы

$\lim_{x \to {1-0}} \frac{2x^2-x+1}{x-1} =-\infty\\ \lim_{x \to {1+0}} \frac{2x^2-x+1}{x-1} =+\infty$

это точка разрыва II рода и вертикальная асимптота х = 1

$y=\frac{2x^3-5x^2+4x+1}{2x^2-x-1} \\k= \lim_{x \to \infty} (\frac{2x^3-5x^2+4x+1}{2x^2-x-1} )/x= \lim_{x \to \infty} \frac{2x^3-5x^2+4x+1}{2x^3-x^2-x} =1\\b= \lim_{x \to \infty} \frac {2x^3-5x^2+4x+1}{2x^2-x-1} -x =-2$

наклонная асимптота у = х - 2

теперь вертикальные

х₁ = - 0.5 точка разрыва. смотрим пределы

$\lim_{x \to {-0.5-0}} \frac{2x^3-5x^2+4x+1}{2x^2-x-1} =-\infty\\ \lim_{x \to {-0.5+0}} \frac{2x^3-5x^2+4x+1}{2x^2-x-1} = +\infty$

это точка разрыва II рода и вертикальная асимптота х = -0.5

x₂ = 1

$\lim_{x \to {1-0}} \frac{2x^3-5x^2+4x+1}{2x^2-x-1} = -\infty\\ \lim_{x \to {1+0}} \frac{2x^3-5x^2+4x+1}{2x^2-x-1} =+ \infty$

это точка разрыва II рода и вертикальная асимптота х = 1

$y=\frac{x^2+2x+1}{x-1} \\k= \lim_{x \to \infty} (\frac{x^2+2x+1}{x-1}):x= \lim_{x \to \infty} \frac{x^2+2x+1}{x^2-x}=1\\b= \lim_{x \to \infty} \frac{x^2+2x+1}{x-1}-x= \lim_{x\to \infty}\frac{3x+1}{x-1}=3$

наклонная асимптота у = х + 3

х=1 точка разрыва. смотрим пределы

$\lim_{x \to {1-0}}\frac{x^2+2x+1}{x-1} =-\infty\\ \lim_{x \to {1+0}}\frac{x^2+2x+1}{x-1} =+\infty$

это точка разрыва II рода и вертикальная асимптота х = 1

4,6(98 оценок)

Ответ:

89681355832

04.03.2023

Пошаговое объяснение:

$y=\frac{x^2+1}{x-1} \\$

ОДЗ: х-1≠0 х≠1.

1) определим вертикальные асимптоты:

х=1.

$\lim_{x \to 1} \frac{x^2+1}{x-1}=\frac{1^2+1}{1-1}=\frac{2}{0}=\infty.\ \ \ \ \Rightarrow\\$

x=1 - вертикальная асимптота.

2) определим наклонные асимптоты:

$y=kx+b\\k= \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}= \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^2+1}{x-1} }{x}= \lim_{x \to \infty} \frac{x^2+1}{x*(x-1)}= \lim_{x \to \infty} \frac{x^2+1}{x^2-x}= \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^2}{x^2}+\frac{1}{x^2} }{\frac{x^2}{x^2} -\frac{x}{x^2} } =\\=\frac{1+0}{1-0}=\frac{1}{1}=1.\\b= \lim_{x \to \infty} (f(x)-kx)= \lim_{x \to \infty} (\frac{x^2+1}{x-1}-1*x)= \lim_{x \to \infty} \frac{x^2+1-x^2+x}{x-1}=\\$ $= \lim_{x \to \infty} \frac{x+1}{x-1}= \lim_{ x\to \infty} \frac{\frac{x}{x}+\frac{1}{x} }{\frac{x}{x}-\frac{1}{x} }=\frac{1+0}{1-0}=\frac{1}{1} =1.\ \ \ \ \Rightarrow\\$

y=x+1 - наклонная асимптота.

ответ: х=1, у=х+1.

$y=\frac{2x^2-x+3}{x-1}.$

ОДЗ: х-1≠0 х≠1.

1) определим вертикальные асимптоты:

х=1.

$\lim_{x \to 1} \frac{x^2+1}{x-1}=\frac{1^2+1}{1-1}=\frac{2}{0}=\infty.\ \ \ \ \Rightarrow\\$

x=1 - вертикальная асимптота.

2) определим наклонные асимптоты:

$y=kx+b\\k= \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2x^2-x+3}{x-1} }{x}= \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2-x+3}{x*(x-1)} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2-x+3}{x^2-x}=|\frac{:x^2}{:x^2} |=\frac{2}{1}=2.\\b= \lim_{x \to \infty} (\frac{2x^2-x+3}{x-1} -2*x)= \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2-x+3-2x^2+2x}{x-1}= \lim_{x \to \infty} \frac{x+3}{x-1}=\\=|\frac{:x}{:x}|=\frac{1}{1}=1.\ \ \ \ \Rightarrow$

y=2x+1 - наклонная асимптота.

ответ: х=1, у=2х+1.

$y=\frac{2x^3-5x^2+4x+1}{2x^2-x-1} .$

ОДЗ: 2x²-x-1≠0

2x^2-2x+x-1≠0

2x*(x-1)+(x-1)≠0

(x-1)*(2x+1)≠0

x-1≠0

x≠1

2x+1≠0

x≠-0,5.

1) определим вертикальные асимптоты:

x=1.

$\lim_{x \to 1} \frac{2x^3-5x^2+4x+1}{2x^2-x-1}=\frac{2*1^3-5*1^2+4*1+1}{2*1^2-1-1}=\frac{2-5+4+1}{2-2}=\frac{2}{0}=\infty.\\ \lim_{x \to -0,5} \frac{2x^3-5x^2+4x+1}{2x^2-x-1}=\frac{2*(-0,5)^3-5*(-0,5)^2+4*(-0,5)+1}{2*(-0,5)^2-(-0,5)-1}=\\=\frac{-0,25-0,125-2+1}{0,5+0,5-1}=\frac{-1,375}{0}=\infty.$

x=1 и х=-0,5 - вертикальные асимптоты.

2) определим наклонные асимптоты:

$y=kx+b\\k= \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2x^3-5x^2+4x+1}{2x^2-x-1} }{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x^3-5x^2+4x+1}{x*(2x^2-x-1)}=\frac{2x^3-5x^2+4x+1}{2x^3-x^2-x}=\\=|\frac{:x^3}{:x^3}|=\frac{2}{2} =1. \\b= \lim_{x \to \infty}( \frac{2x^3-5x^2+4x+1}{2x^2-x-1}-1*x)= \lim_{x \to \infty} \frac{2x^3-5x^2+4x+1-(2x^3-x^2-x )}{2x^2-x-1} =\\= \lim_{x \to \infty}\frac{-4x^2+5x+1}{2x^2-x-1} =|\frac{:x^2}{:x^2}|=\frac{-4}{2}=-2.\ \ \ \ \Rightarrow\\$