Вычислите значение p уравнения, если уравнение x2 p x + 2 = 0 имеет только один корень?

👇

Ответ:

mintbouquet

17.01.2022

$x^{2} \cdot px+2=0\\px^3=-2$
если p=0, то нет корней
если p не равно 0, то можно на него поделить
$x^{3} = -\frac{2}{p} \\\\x= -\sqrt[3]{\frac{2}{p}}$
т.е. один корнень при любом p не равном нулю

4,8(53 оценок)

Открыть все ответы

Ответ:

Subota

17.01.2022

Во-первых, у уравнения есть очевидный корень x_1 = 4 ,

заявленный и в приведённом условии. Далее порассуждаем практически:

x=0) $2^0 4 \cdot 0$ ;

x=1) $2^1 < 4 \cdot 1$ ;

x=2) $2^2 < 4 \cdot 2$ ;

x=3) $2^3 < 4 \cdot 3$ ;

x=4) $2^4 = 4 \cdot 4$ ;

x=5) $2^5 4 \cdot 5$ ;

При x 4 ,

производная $(2^x)'_x = 2^x \ln{2} 2^4 \ln{\sqrt{e}} = 8$ больше производной (4x)'_x = 4

, т.е. дальше левая часть уравнения, растёт быстрее, чем правая, а значит, других корней при x 4

быть не может.

При x < 0 ,

левая часть уравнения положительна, а правая отрицательна, так что других корней при x < 0

быть не может.

Однако, как видно из оценок (x=0) и (x=1) уравнение явно имеет решение на $x \in (0,1)$ , так как при сравнении двух непрерывных функций на этом интервале меняется знак.

Предположим, что второе решение рационально. Тогда слева мы будем иметь арифметический корень некоторой степени из двойки, возведённой в некоторую другую несократимую и меньшую степень, т.е. если $x = \frac{p}{q} ,$ где $\{ p < q \} \in N ,$ то: $2^x = 2^\frac{p}{q} = (\sqrt[q]2)^p < 2 .$ Это число, очевидно иррационально, что легко доказать от обратного методом Евклида. Однако справа должно быть рациональное число $4 \cdot \frac{p}{q} = \frac{4p}{q} ,$ а значит, мы пришли к противоречию. Таким образом, второе решение иррационально.

Если, тем не менее, такой корень должен быть найден, то нам придётся привлечь некоторые не очень сложные знания из высшей математики, поскольку иначе данная задача не может быть решена.

В высшей математике используется множество дополнительных функций. Одна из них, функция Ламберта x = W(t) ,

по определению дающая решение, т.е. являющаяся обратной, к функции t = xe^x .

Функция вводится аналогично, скажем, функции x = arctg(t) ,

являющейся решением уравнения t = tg{x} ,

но в отличие от арктангенса, функция Ламберта используется намного реже в прикладных задачах (в основном в задачах теплопроводности), и поэтому – менее широко известна. Функция вводится на расширенной комплексной плоскости, т.е. алгебраически, а не арифметически, а значит по определению, может быть многозначной, и является таковой при отрицательных значениях аргумента t ,

хотя нам достаточно будет знать лишь её действительные значения, которых при отрицательных аргументах всегда два. Вид действительных ветвей функции Ламберта представлен на приложенном изображении.

Преобразуем наше уравнение к функции Ламберта:

2^x = 4x

;

$(\frac{1}{2})^x = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x}$ ;

$x \cdot e^{ x \ln{ \frac{1}{2} } } = \frac{1}{4}$ ;

$- x \ln{2} \cdot e^{ - x \ln{2} } = - \frac{ \ln{2} }{4}$ ;

Обозначим: $y = - x \ln{2} ,$ тогда:

$y e^y = t = - \frac{ \ln{2} }{4} ,$ отсюда через функцию Ламберта:

$y = W(t) = W( -\frac{ \ln{2} }{4} ) ,$

$x = - \frac{y}{ \ln{2} } = - \frac{ W( -\frac{ \ln{2} }{4} ) }{ \ln{2} }$ ;

Функция Ламберта при $t = -\frac{ \ln{2} }{4} \approx -0.17328679513998633 \pm 10^{-17}$ равна:

$W(t) \in \{ -0.21481111641565689 \pm 10^{-17} , -2.77258872223978124 \pm 10^{-17} \}$ ;

что можно вычислить, либо через таблицу значений функции Ламберта, либо методом последовательных приближающихся вычислений, что можно легко проделать методами элементарного программирования, просто на калькуляторе или в двух связанных ячейках Excel, что я и проделала, подставляя в качестве

искомое значение и вычисляя t = xe^x ,

добиваясь его равенства $t = -\frac{ \ln{2} }{4} \approx -0.17328679513998633 \pm 10^{-17} .$

Большее из двух частных значений функции Ламберта при делении его на $- \ln{2}$ как раз и даст значение x_1 = 4

, что можно легко проверить подстановкой.

Меньшее значение даст второй корень исходного уравнения:

В аналитической форме: $x_2 = - \frac{ \min{ W( -\frac{ \ln{2} }{4} ) } }{ \ln{2} }$ ;

В форме приближённого значения:

$x_2 \approx 0.30990693238069054 \pm 10^{-17}$ ;

О т в е т :

$x \in \{ - \frac{ W( -\frac{ \ln{2} }{4} ) }{ \ln{2} } \}$ ;

$x \in \{ -\frac{ min{W( -\frac{ \ln{2} }{4} ) } }{ \ln{2} } , 4 \}$ ;

$x \in \{ 0.30990693238069054 \pm 10^{-17} , 4 \} .$

Когда-то давным давно мне задали уравнение: 2 в степени х=4х и сказали решишь поступишь в упи им. с.

Когда-то давным давно мне задали уравнение: 2 в степени х=4х и сказали решишь поступишь в упи им. с.

4,6(33 оценок)

Ответ:

baka8

17.01.2022

Существует такая теорема Она гласит : Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его смежных сторон ,значит 2(3²+4²)=2*(9+16)=2*25=50. Значит сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна 50 . Я предполагаю что этот параллелограм является прямоугольником. В прямоугольнике диагонали равны значит , квадрат одной диагонали равен 25 ,а просто диагональ 5 . Мы сможем найти площадь этого параллелограмма как сумма двух треугольников ,образованным любой диагональю. 2*общий корень p(p-a)(p-b)(p-d) ,Где p это полусумма (a+b+d)/2 ,A и b стороны параллелограмма,а D любая диагональ параллелограмма. (3+4+5)/2=12/2=6

2*на общий корень 6(6-3)(6-4)(6-5)= 6*3*2*1= 36 , это 6 в квадрате . 2*6=12.

Я понял что площадь параллелограмма зависит от угла и чем меньше угол между сторонами чем меньше его площадь .

Я писал долгий комментарий ,но он удалился ,короче я посчитал угол по площади параллелограмма ab*sin a,нашел третью сторону треугольника ,и по теореме косинусов она получилась 5.104 . Значит мои предложения то что диагональ равна пяти верны. P.S там угол будет 34⁰ мы разделили 2√11 на 12 и получили 0.55 ,а это sin 34 . Он не совсем прямоугольный ,потому что сторона больше пяти,а она уже не соответствует теореме Пифагора ,пифагоровый треугольник. А потом по теореме о сумме квадратов диагоналей параллелограмма ,находишь вторую диагональ. 5.104²+X²=2*(3²+4²) | 26.050+X =2*(9+16) =26.050 +X =2*25 | 26.050 +x= 50 . Отсюда X= 50-26.050=23.95. Не забываем что это квадрат другой диагонали . Найдем корень 23.95 это 4.89. Конечно если бы я был бы на огэ ,я бы нарисовал ,но сначала в теории попытался бы сделать синус какого то угла чтобы,с такими сторонами чтобы получилось 0.55 . По теореме Пифагора бы нашел третью сторону и транспортиром бы нашел угол. Есть конечно нахождения углов по подсчётам,но он сложный,и даже я не понимаю обратные тригонометрические функции,хоть и отличник в математике 8 класса

4,8(22 оценок)

Это интересно:

Образование

06.01.2021

Клюква стоит 250 рублей за кг, а малина 200....

Образование

16.03.2023

Решить систему уравнений x2 + y2 + xy = 3...

Образование

05.08.2020

Решить систему уравнений x2 + xy +y2 = 13...

Образование