Question

конечная прогрессия состоит из различных натуральных чисел. произведение членов этой прогрессии является делителем числа 19600.
может ли эта прогрессия состоять из 3 членов?
может ли эта прогрессия состоять из 5 членов?
может ли эта прогрессия состоять из 4 членов?

Answer 1

Разложим число 19600 на простые множители:

$19600=140^2=(7*2*10)^2=(7*2^2*5)^2=2^4*5^2*7^2$

Делителем этого числа будет некое число $2^a*5^b*7^c,\ a\leq4,\ b\leq 2,\ c\leq 2,\ a,b,c\in\mathbb{N}_{0}$.

Не забудем также, что в разложение числа можно добавить единицу в любой степени (обозначим показатель степени единицы за x).

а) Может ли эта прогрессия состоять из 3 членов?

Пусть такая прогрессия существует. Тогда произведение её членов равно $b_1*b_2*b_3=b_1*b_1*q*b_1*q^2=b_1^3*q^3=1^x*2^a*5^b*7^c$.

Мы видим, что возможно найти кубы чисел в данном разложении: например, можно взять куб единицы и куб двойки. Приведём пример: пусть $b_1=1,\ q=2$. Тогда произведение членов этой прогрессии равно $1*2*4=8,\ 19600\mathrel{\vdots}8$. Такое может быть.

б) Может ли эта прогрессия состоять из 5 членов?

Пусть такая прогрессия существует. Тогда произведение её членов равно $b_1*b_1*q*b_1*q^2*b_1*q^3*b_1*q^4=b_1^5*q^{10}=1^x*2^a*5^b*7^c$.

Если самую большую степень отдать под единицу, то есть 10, то остаётся пятая степень, а в разложении максимально возможная степень — это 4. Если бы мы отдали пятую степень под единицу, тем более случай бы не реализовался.

Случай с ненатуральным знаменателем прогрессии также не реализуется, так как первый её член — это как минимум четвёртая степень какого-то числа, которое стоит в знаменателе q (если q — рациональное число). При перемножении всех пяти членов в произведении будет как минимум двадцатая степень, которой нет в разложении (единица не в счёт, иначе знаменатель будет натуральным числом). Иррациональным знаменатель прогрессии быть не может, иначе некоторые его члены будут также иррациональны.

Таким образом, прогрессия не может состоять из 5 членов.

в) Может ли эта прогрессия состоять из 4 членов?

Пусть такая прогрессия существует. Тогда произведение её членов равно $b_1*b_1*q*b_1*q^2*b_1*q^3=b_1^4*q^6=1^x*2^a*5^b*7^c$.

Шестую степень можно отдать под единицу, а четвёртую – под двойку. Тогда мы получим такую прогрессию: $b_1=2,\ q=1$. Произведение её членов равно $2*2*2*2=16,\ 19600\mathrel{\vdots}16$. То есть такое может быть.

ответ: а) да; б) нет; в) да