Упростить тригонометрическое выражение
1) Преобразуем числитель
1-sin⁶α-cos⁶α=1 - (sin⁶α+cos⁶α)=1 -( (sin²α)³+(cos²α)³)=cумма кубов=
=1 -(sin²α+cos²α) * (sin⁴α- sin²α*cos²α+cos⁴α)=
=1 -1 * (sin⁴α- sin²α*cos²α+cos⁴α)=
=1- (sin⁴α +2*sin²α*cos²α+cos⁴α- 3*sin²α*cos²α)=
=1-( (sin²α +cos²α)² - 3*sin²α*cos²α)=1-(1-3*sin²α*cos²α)=3*sin²α*cos²α.
2) Преобразуем знаменатель 1-sin⁴α-cos⁴α=1 - (sin⁴α+cos⁴α)=
=1 -( (sin²α)²+2sin²α *cos²α +(cos²α)²-2sin²α *cos²α ))=
=1 -( (sin²α+cos²α)² -2 sin²α*cos²α) = 1-(1-2 sin²α*cos²α)=2sin²α*cos²α/
======================
Использован принцип добавления и вычитания слагаемых для получения формул сокращенного умножения;
sin²α+cos²α=1 основное тригонометрическое тождество ;
а³+в³=(а+в)(а² -ав+в²) формула суммы кубов.
1)начнем плясать от основного тригонометрического тождества.
sin²α+cos²α=1
1²=1- верно?
поэтому 1=(sin²α+cos²α)²=sin⁴α+cos⁴α+2sin²α*cos²α; попутно для числителя
sin⁴α+cos⁴α=1-2sin²α*cos²α
Тогда знаменатель преобразуется с.о.
1-sin⁴α-cos⁴α=sin⁴α+cos⁴α+2sin²α*cos²α-sin⁴α-cos⁴α=2sin²α*cos²α.
2) Теперь числитель...по накатанной схеме. 1=1³
1-sin⁶α-cos⁶α=1³-(sin⁶α+cos⁶α)=
(sin²α+cos²α)³-(sin²α+cos²α)*(sin⁴α-cos²αsin²α+cos⁴α)=
(sin²α+cos²α)²-sin⁴α+cos²αsin²α-cos⁴α=
1²-(1-2sin²α*cos²α)+cos²αsin²α=1-1+2sin²α*cos²α+cos²αsin²α=3sin²α*cos²α;
3) делим числитель на знаменатель и умножаем на 2, получаем
2*3sin²α*cos²α/(2sin²α*cos²α)=3;
использовал формулу суммы кубов sin⁶α+cos⁶α=(sin²α)³+(cos²α)³=
(sin²α+cos²α)*(sin⁴α-cos²αsin²α+cos⁴α)
ОТВЕТ 3
в одном кубическом литре