Question

Найдите наименьшее натуральное число, которое делится ровно на четыре натуральных числа, меньших себя самого.

Answer 1

Предположим, что мы нашли такое число, обозначим его Х. Рассмотрим его разложение на простые множители. Если в этом разложении есть хотя бы два различных простых числа a и b и разложение состоит более чем из двух можителей (т.е. Х=a*b*c, где c – некоторое натуральное число, большее 1), то Х делится на 1, на a, на b, на a*b и на c. Заметим, что 1, a, b и a*b – различные натуральные числа. Так как Х должно делиться ровно на четыре натуральных числа, меньших себя самих, то либо c=a, либо c=b, либо c=a*b. Но в таком случае число Х будет делиться либо на a2, либо на b2, что в свою очередь не равно ни одному из чисел 1, a, b и a*b. Получили противоречие. Если Х=a*b, где a и b – различные простые числа, то натуральные числа, меньшие Х, которые делят Х, – это только 1, a и b. Значит, в разложении числа Х на простые множители не может быть двух различных простых чисел. Тогда число Х есть некоторая степень простого числа (а так как нужно найти наименьшее такое Х, то Х – степень двойки). Натуральные числа, меньшие 23, делящие 23, – это только 1, 2 и 4. Значит, степень должна быть больше 3. 24 делят как раз только 1, 2, 4 и 8. Значит, наименьшее натуральное число, которое делится ровно на четыре натуральных числа, меньших себя самого, равно 24=16.