Заметим, что сумма цифр числа дает такой же остаток при делении на 3, что и само число (разность между числом abcd... и суммой его цифр a + b + c + d + ... равна 9999...9a + 999...9b + 99...9c + 9...9d и поэтому делится на 3). Если число даёт остаток 1 при делении на 3, то следующее полученное число будет давать остаток 2 при делении на 3. Если число даёт остаток 2 при делении на 3, то следующее полученное число будет давать такой же остаток, что и 2 + 2 = 4, т.е. 1.
Исходное число даёт остаток 2 при делении на 3, тогда потом получится число с остатком 1, затем опять 2, потом 1, и т.д. Значит, число, делящееся на 3 (например, 3333) из него при загадочного калькулятора получить нельзя.
Полезное утверждение: сумма цифр даёт такой же остаток при делении на 9, что и само число. Доказательство. Пусть число имеет вид . Рассмотрим разность между этим числом и суммой его цифр:
Коэффициент перед равен - k девяток, очевидно делится на 9. Если разность двух целых чисел делится на 9, то они дают одинаковые остатки при делении на 9, что и требовалось доказать.
Возвращаемся к задаче. Первоначальное число давало остаток 6 при делении на 9. Тогда после первого нажатия волшебной кнопки на экране будет число, дающее такой же остаток от деления на 9, что и 2 * 6, после следующего - как и 4 * 6, и вообще, после n нажатий число будет давать такой же остаток, что и . не делится на 9 ни при каком n, так что на экране не появится ни одного числа, делящегося на 9, в том числе и 9333 = 9 * 1037.
