1)Найдем модуль вектора а. т.е. IaI=√(1+25+1)=√27=3√3; модуль вектора b,т.е.
IbI=√(-+4+49)√54=3√6, найдем скалярное произведение этих векторов →*а→b=-1-10-7=-18, найдем косинус угла α между векторами. для чего разделим скалярное произведение на произведение модулей векторов. получим cosα=-18/(3√6*3√3)
=-2/√18=-2/(3√2); α=180°-arccos(2/(3√2))≈180°-arccos0.4714≈
180°-62°=118°
проекция вектора →(2а-b)=→(-2-1;10+2;2+7)=→(-3;12;9) на вектор b(1;-2;-7),
равна частному от деления скалярного произведения векторов
→a→*b = (-3)*+ 12*(-2) + 9*(-7) = -3 - 24 - 63 = -90, на модуль вектора b .
т.е. -90/3√6=-90√6/18=-5√6≈-12.25.
2)а) ортогональны вектора, когда их скалярное произведение равно нулю. т.е. 2*4-1*4+х*0=0, 4=0 не верно. ни при каких х.
б) векторы коллинеарны, а не параллельны. это параллельны прямые, на которых лежат данные векторы. а коллинеарны они тогда, когда их координаты пропорциональны, т.е. 2/х=4/у=5/-1
2/х=5/-1⇒х=-2/5=-0.4; 4/у=5/-1⇒у=-0.8
проверим пропорцию. 2/-0.4=4/-0.8=-5/1- верно.
3) →АВ(-18;3;2) ; АВ=√(324+9+4)=√337
→АС(-2;-6;-3); АС=√(4+36+9)=7
найдем векторное произведение. потом модуль его и разделим на два. получим
→i →i →k
-18 3 2 =
-2 -6 -3
=3*→i -58*→j+114→к
длина вектора равна √(9+3364+12996)=√16369≈127.94
тогда искомая площадь √116369/2≈63.97≈64
У треугольника три высоты.
Если ищем высоту к стороне АВ, то две площади делим на АВ, получаем 2*√116369/(√337)=2*√116369/337=2*√345.31≈2*19=38
к стороне АС 2*√116369/7≈341*2/7≈97
→ВС(16;9;-5), к стороне ВС надо знать длину ВС=√(256+81+25)=√362;
тогда высота к ВС равна 2*√(116369/362)≈2*√321.46≈36
Векторы образуют базис, если определитель, составленный из координат этих векторов, не равен нулю.
Найдем определитель
-1 -1 2
1 -7 -3 =
4 -2 -6
= -42+12-4-(-56+6-6)=56-34=22≠0
Над всеми векторами ставим черточки или стрелки.
(4;-10;-7) = α(-1;-1;2) + α(1;-7;-3) + α(4;-2;-6)
-1*α₁ + 1*α₂ + 4*α₃ = 4
-1*α₁ -7*α₂ -2*α₃ = -10
2*α₁-3*α₂ -6*α₃ = -7
Решаем эту систему уравнений методом Гаусса
1 -1 -4 -4
-1 -7 -2 -10
2 -3 -6 -7
сложим первую и вторую строки и отправим во вторую и первую. умноженную на -2 с третьей. отправим в третью. получим
1 1 4 4
0 -8 -6 -14
0 -1 2 1
Сложим третью, умноженную на минус 8 со второй и отправим во вторую результат.
1 1 4 4
0 0 -22 -22
0 -1 2 1
из второй строки -22*α₃ =-22, откуда α₃ =1, подставим в третью строку. получим -α₂ +2*α₃ =1, откуда α₂=1, и наконец, подставим полученное в первую строку 1*α₁ -1*α₂ -4*α₃ = -4, откуда α₁-1*1-4*1= -4, получаем α₁=1
d = 1*а+1*b +1*c
Проверим. (-1;-1;2)+(1;-7;-3)+(4;-2;-6)-(4;-10;-7)=d
19-x=12 x/6=8
x=12+19 x=6*8
x=31 x=48