Question

Две касающиеся внешним образом в точке k окружности, радиусы которых равны 31 и 32, касаются сторон угла с вершиной a. общая касательная к этим окружностям, проходящая через точку k, пересекает стороны угла в точках b и c. найдите радиус окружности, описанной около треугольника abc.

Answer 1

Про­ведём по­стро­е­ния как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Пусть ра­ди­ус мень­шей окруж­но­сти равен  а ра­ди­ус боль­шей окруж­но­сти равен  Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки  и  они пря­мо­уголь­ные, угол  — общий, сле­до­ва­тель­но, эти тре­уголь­ни­ки по­доб­ны. От­ку­да    Пря­мая  — ка­са­тель­ная к окруж­но­стям, по­это­му  пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой  Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки  и  они пря­мо­уголь­ные,   — общая, сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ни­ки  и  равны, от­ку­да  Найдём тан­генс угла    Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка   Найдём синус угла  Ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ный около тре­уголь­ни­ка   ответ: 992,25.