Для решения данной задачи, нам необходимо выполнить следующие шаги:
1. Расчет средних значений:
- Посчитаем среднее значение времени решения для первой задачи:
Среднее значение для первой задачи = (4,0 + 3,5 + 4,1 + 5,5 + 4,6 + 6,0 + 5,1 + 4,3 + 3,7 + 4,2 + 3,6 + 5,2 + 4,7 + 6,1 + 5,7 + 3,9 + 4,5 + 3,8 + 4,6 + 5,8) / 20 = 4,625
- Посчитаем среднее значение времени решения для третьей задачи:
Среднее значение для третьей задачи = (3,0 + 3,0 + 3,8 + 4,5 + 3,8 + 5,1 + 4,2 + 3,3 + 2,6 + 3,0 + 3,5 + 4,1 + 4,6 + 3,7 + 4,7 + 2,9 + 3,6 + 2,7 + 3,5 + 5,0) / 20 = 3,73
2. Расчет стандартного отклонения:
- Посчитаем стандартное отклонение времени решения для первой задачи:
Стандартное отклонение для первой задачи = √[((4,0-4,625)^2 + (3,5-4,625)^2 + (4,1-4,625)^2 + (5,5-4,625)^2 + (4,6-4,625)^2 + (6,0-4,625)^2 + (5,1-4,625)^2 + (4,3-4,625)^2 + (3,7-4,625)^2 + (4,2-4,625)^2 + (3,6-4,625)^2 + (5,2-4,625)^2 + (4,7-4,625)^2 + (6,1-4,625)^2 + (5,7-4,625)^2 + (3,9-4,625)^2 + (4,5-4,625)^2 + (3,8-4,625)^2 + (4,6-4,625)^2 + (5,8-4,625)^2) / (20-1)] = 0,7379
- Посчитаем стандартное отклонение времени решения для третьей задачи:
Стандартное отклонение для третьей задачи = √[((3,0-3,73)^2 + (3,0-3,73)^2 + (3,8-3,73)^2 + (4,5-3,73)^2 + (3,8-3,73)^2 + (5,1-3,73)^2 + (4,2-3,73)^2 + (3,3-3,73)^2 + (2,6-3,73)^2 + (3,0-3,73)^2 + (3,5-3,73)^2 + (4,1-3,73)^2 + (4,6-3,73)^2 + (3,7-3,73)^2 + (4,7-3,73)^2 + (2,9-3,73)^2 + (3,6-3,73)^2 + (2,7-3,73)^2 + (3,5-3,73)^2 + (5,0-3,73)^2) / (20-1)] = 0,7212
3. Расчет значения t-критерия Стьюдента:
- Посчитаем значение t-критерия Стьюдента по формуле:
t = (среднее значение для первой задачи - среднее значение для третьей задачи) / √((статистическое отклонение для первой задачи^2 / количество наблюдений в первой задаче) + (статистическое отклонение для третьей задачи^2 / количество наблюдений в третьей задаче))
t = (4,625 - 3,73) / √((0,7379^2 / 20) + (0,7212^2 / 20))
t ≈ 2,944
4. Проверка гипотезы:
- Для проверки гипотезы H1 о различии в средних значениях между переменными, нужно сравнить полученное значение t-критерия Стьюдента с табличным значением.
- При заданном уровне значимости α = 0,05 и количестве степеней свободы df = (20-1) + (20-1) = 38, найдем табличное значение t-критерия Стьюдента.
- Используя таблицу критических значений t-критерия Стьюдента для двухвыборочного несвязанного теста, для критической области t-критерия Стьюдента значение равно 2,024.
- Так как полученное значение t (2,944) превышает табличное значение (2,024), то отвергаем нулевую гипотезу и можем подтвердить гипотезу H1 о различиях в средних значениях между переменными.
Итак, по результатам расчетов, мы можем подтвердить гипотезу H1 о различиях в средних значениях между переменными.
№1.
а) Вероятность того, что среди трех человек консультационного комитета будут только мужчины, можно найти, используя комбинаторику. В данном случае нужно выбрать 3 мужчин из общего числа мужчин в компании (4+4+5+5+3+3 = 24). Количество сочетаний из 24 по 3 равно 24!/(3!*(24-3)!) = 24*23*22/(3*2*1) = 2024. Затем нужно поделить это число на общее количество возможных комбинаций трех человек из компании (24!/(3!*(24-3)! + 24!/(2!*(24-2)!)) = 2024 + 276 = 2300), чтобы получить искомую вероятность. Поэтому вероятность того, что среди трех человек консультационного комитета будут только мужчины, равна 2024/2300 = 0,8817 или 88,17%.
б) Для того, чтобы в комитете было 2 человека из производственного отдела и 1 человек из отдела реализации, нужно выбрать 2 человека из производственного отдела (6) и 1 человека из отдела реализации (3), а затем поделить это число на общее количество возможных комбинаций (2300). Поэтому вероятность такого исхода равна (6!/(2!*(6-2)))*(3!/(1!*(3-1)))/2300 = 15/115 = 0,1304 или 13,04%.
в) Вероятность того, что в комитете будет 1 человек со склада и 2 человека с автобазы, можно найти, выбрав 1 человека из склада (5) и 2 человека из автобазы (5), а затем поделив это число на общее количество возможных комбинаций (2300). Поэтому вероятность такого исхода равна (5!/(1!*(5-1)))*(5!/(2!*(5-2)))/2300 = 20/230 = 0,087 или 8,7%.
г) Чтобы выбрать 1 женщину из ремонтной мастерской (3) и 2 мужчин из отдела реализации (3), нужно умножить количество вариантов выбора женщины из ремонтной мастерской на количество вариантов выбора мужчин из отдела реализации, а затем разделить это число на общее количество возможных комбинаций (2300). Поэтому вероятность такого исхода равна (3!/(1!*(3-1)))*(3!/(2!*(3-2)))/2300 = 3/230 = 0,01304 или 1,304%.
№2.
Вероятность того, что среди вынутых 6 деталей обнаружится 3 бракованных, можно найти, используя биномиальное распределение. Формула для вычисления вероятности биномиального распределения выглядит как P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k), где n - количество испытаний (вынутых деталей), k - количество благоприятных исходов (бракованных деталей), p - вероятность благоприятного исхода (вероятность выбрать бракованную деталь), C(n, k) - количество сочетаний по k элементов из n.
Таким образом, вероятность обнаружить 3 бракованные детали среди 6 вынутых будет равна C(6, 3) * 0,12^3 * (1-0,12)^(6-3) = 20 * 0,12^3 * 0,88^3 = 0,2671 или 26,71%.
№3.
Математическое ожидание M(X) может быть найдено умножением каждого значения случайной величины на соответствующую вероятность их появления, а затем сложением этих произведений. В данном случае, M(X) = 2 * 0,5 + 4 * 0,2 + 6 * 0,3 = 1 + 0,8 + 1,8 = 3,6.
Дисперсия D(X) может быть найдена путем вычисления суммы произведений квадратов разности значений случайной величины и математического ожидания на их вероятность, и затем вычисления суммы этих произведений. В данном случае, D(X) = (2-3,6)^2 * 0,5 + (4-3,6)^2 * 0,2 + (6-3,6)^2 * 0,3 = 2,56 * 0,5 + 0,16 * 0,2 + 4,84 * 0,3 = 1,28 + 0,032 + 1,452 = 2,764.
Стандартное отклонение σ(X) можно найти вычислением квадратного корня из дисперсии, то есть σ(X) = √D(X) = √2,764 = 1,664.
Функция распределения F(x) может быть найдена путем суммирования вероятностей появления значений меньше или равных заданному значению x. В данном случае, F(2) = 0,5, F(4) = 0,5 + 0,2 = 0,7, F(6) = 0,5 + 0,2 + 0,3 = 1. График функции распределения имеет вид ступенчатой кривой, где на оси x откладываются значения случайной величины, а на оси y - вероятности их появления.
4) Полигон дискретного вариационного ряда частот:
|
4 | .
|
3 | .
F |
r |
e 2 | .
q |
u |
е 1 | .
н | .
т | .
ь 0 |______________________________
1 ~-2 -1 0 1 3 5
5) Полигон дискретного вариационного ряда относительных частот:
|
0,5 | .
|
0,4 | .
f |
r 0,3 |
e |
q |
u 0,2 | .
е |
н | .
т |
ь 0,1 |______________________________
1 ~-2 -1 0 1 3 5
6) Эмпирическая функция распределения и ее график:
|
1 |_______________
|
0,9 |_______________
|
0,8 |________________________________________________________
F |
r |
e 0,7 |______________________________________
q |
u |
е 0,6 |_______________________
н |
т |
ь 0,5 |________
1 ~-2 -1 0 1 3 5
7) Числовые характеристики дискретного вариационного ряда:
- Выборочное среднее: выбираем среднее арифметическое всех значений вариационного ряда, то есть (-2 - 1 -1 + 0 + 1 + 1 + 3 + 3 + 3 + 5)/(11) = 1.
- Выборочная дисперсия: вычисляем среднее квадратов разностей значений вариационного ряда и выборочного среднего, то есть ((-2-1)^2 + (-1-1)^2 + (0-1)^2 + (1-1)^2 + (3-1)^2 + (3-1)^2 + (3-1)^2 + (5-1)^2)/(11) = 6,999.
- Выборочное среднее квадратичное отклонение: находим квадратный корень из выборочной дисперсии, то есть √6,999 = 2,6458.
- Выборочная мода: выбираем наиболее часто встречающееся значение вариационного ряда, то есть мода = 3.
- Выборочная медиана: выбираем значение вариационного ряда, которое разделяет ряд на две примерно равные части, то есть медиана = 1.
8) Исходя из полученных числовых характеристик, можно сделать вывод, что значения вариационного ряда сосредоточены вокруг значения выборочного среднего (1), с небольшим разбросом (выборочное среднее квадратичное отклонение равно 2,6458). Мода (наиболее часто встречающееся значение) равна 3, а медиана (значение, разделяющее ряд на две равные части) равна 1. Таким образом, можно предположить, что генеральная совокупность содержит значения примерно в диапазоне от -2 до 5, с наиболее частым значением около 3.
0.4<0,44<0,5
ответ: 4