Question

Определить площадь фигуры ограниченной линиями y=x^3-6x^2+11x-6 и осью ох

Answer 1

$\displaystyle f(x)=x^3-6x^2+11x-6;$

$\displaystyle f(x)=0;$
$\displaystyle 0=x^3-6x^2+11x-6;$
Корень $\displaystyle x=2$ легко угадывается. Тогда:
$\displaystyle 0=(x-2)(x^2-4x+3);$
$\displaystyle 0=(x-1)(x-2)(x-3);$
$\displaystyle x=1\lor x=2\lor x=3;$

$\displaystyle S_1=\int\limits_1^2f(x)dx=\Big(\frac{x^4}{4}-2x^3+\frac{11x}{2}-6x\Big)\bigg|_1^2=4-16+11-12-\frac{1}{4}+2-\frac{11}{2}+6=23-28-\frac{1+22}{4}=-5-\frac{23}{4}=-\frac{20+23}{4}=-\frac{43}{4};$

$\displaystyle S_2=\int\limits_2^3f(x)dx=\Big(\frac{x^4}{4}-2x^3+\frac{11x}{2}-6x\Big)\bigg|_2^3=\frac{81}{4}-54+\frac{33}{2}-18-4+16-11+12=28-87+\frac{81+66}{2}=\frac{147}{4}-59=\frac{147-4(60-1)}{4}=-\frac{89}{4};$

$\displaystyle |S_1|+|S_2|=\frac{43}{4}+\frac{89}{4}=\frac{132}{4}=\boxed{33}\phantom{.}.$