Question

Необходимо подробное решение,а не просто ответ. lim (sinx-cosx)/cos2x при x⇒pi/4

Answer 1

$\lim_{x \to \frac{ \pi }{4}} ( \frac{sinx-cosx}{cos(2x)})= \lim_{x \to \frac{ \pi }{4}} ( \frac{sinx-cosx}{cos^{2}x-sin^{2}x})=\lim_{x \to \frac{ \pi }{4}} ( \frac{sinx-cosx}{(cosx-sinx)(cosx+sinx)})=\lim_{x \to \frac{ \pi }{4}} ( \frac{-1}{cosx+sinx})=\frac{-1}{cos\frac{ \pi }{4}+sin\frac{ \pi }{4}}=\frac{-1}{2* \frac{ \sqrt{2}}{2}}=\frac{-1}{\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

Воспользовалась:
1) формулой двойного угла косинуса: $cos(2x)=cos^{2}x-sin^{2}x$
2) формулой сокращенного умножения - разность квадратов:
$a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$
$cos^{2}x-sin^{2}x=(cosx-sinx)(cosx+sinx)$