Question

Архимеда! 1^2+2^2+3^2+4^2+=1/6n(n+1)(2n+1) доказать что это так.

Answer 1

$1^2+2^2+3^2+4^2+...n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
Доказываем методом математической индукции
1 шаг
проверяем  формлулу для n=1
$1 ^{2}= \frac{1\cdot (1+1)(2+1)}{6}$ - верно
2 шаг
предполагаем, что для  n=k формула верна.
$1^2+2^2+3^2+4^2+...k^2=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}$
3 шаг
используя предыдущее предположение доказываем формулу для n=k+1
$1^2+2^2+3^2+4^2+...k^2+(k+1)^2=\frac{(k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1)}{6}$
Рассмотрим левую часть
$1^2+2^2+3^2+4^2+...k^2+(k+1)^2$
заменим первые k слагаемых на
$\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}$
согласно предположению, тогда
$\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+( k+1)^2=(k+1)( \frac{2k ^{2}+6 }{6}+k+1)= \\ \\ = (k+1)( \frac{2k ^{2}+k +6k+6}{6})= (k+1)( \frac{2k ^{2}+7k+6}{6})= \frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}$
$\frac{((k+1)+1)(k+2)(2(k+1)+1)}{6}=\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}$
что и требовалось получить.
На основании принципа математической индукции ( аксиомы) формула верна для любого натурального n

Answer 2

Мат индукция вам в Докажем базу.
База 1. 1^2 = 1*2*3/6
Пусть выполнено для n. Покажем, что из этого следует то, что выполнено утверждение для n+1.
1^2+2^2++n^2+(n+1)^2 = n(n+1)(2n+1)/6+(n+1)^2 = (n+1)(2n^2+n+6n+6)/6 = (n+1)(2n^2+7n+6)/6 = (n+1)*2*(n+2)(n+3/2)/6 = (n+1)(n+2)(2n+3)/6 = (n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1)/6