Question

Найти неопределенный интеграл пользуясь методом разложения рациональных дробей на простейшие интеграл (5x-11)/(x(x^2+4)) dx

Answer 1

$\mathfrak{I}=\int \dfrac{5x-11}{x(x^2+4)} dx=\int \dfrac{A}{x} dx+\int \dfrac{Bx+C}{x^2+4} dx=\\ \\ = \int \dfrac{Ax^2+4A+Bx^2+Cx}{x(x^2+4)} dx= \int \dfrac{(A+B)x^2+Cx+4A}{x(x^2+4)} dx =\ \textgreater \ \\ \\ \begin{cases} A+B=0 \\ C=5 \\ 4A=-11 \end{cases} \ \textless \ =\ \textgreater \ \begin{cases} A=-11/4 \\ C=5 \\ B=11/4 \end{cases} =\ \textgreater \$
$\mathfrak{I}=\int \dfrac{5x-11}{x(x^2+4)} dx=\int \dfrac{- \frac{11}{4} }{x} dx+\int \dfrac{ \frac{11}{4} x+5}{x^2+4} dx= \\ \\ =- \frac{11}{4} \int \dfrac{dx}{x} +\frac{11}{4} \int \dfrac{xdx}{x^2+4} +5\int \dfrac{dx}{x^2+4} = \mathfrak{I_1}+\mathfrak{I_2}+\mathfrak{I_3} \\ \\ \mathfrak{I_1}=- \frac{11}{4} \int \dfrac{dx}{x}= - \frac{11}{4} ln\ |x|+C_1;\\ \\ \mathfrak{I_2}= \frac{11}{4} \int \dfrac{xdx}{x^2+4} =\frac{11}{8} \int \dfrac{d(x^2+4)}{x^2+4} =\frac{11}{8} ln(x^2+4)+C_2;$
$\mathfrak{I_3}=5\int \dfrac{dx}{x^2+4} = \frac{5}{2} \int \dfrac{d( \frac{x}{2}) }{( \frac{x}{2})^2+1} = \frac{5}{2} arctg \frac{x}{2} +C_3.$

$\mathfrak{I}=- \frac{11}{4} ln\ |x|+\frac{11}{8} ln(x^2+4)+\frac{5}{2} arctg \frac{x}{2} +C.$

ответ: $- \frac{11}{4} ln\ |x|+\frac{11}{8} ln(x^2+4)+\frac{5}{2} arctg \frac{x}{2} +C.$