Question

Нехай дiйснi числа x,y i z задовольняють одночасно двi рiвностi: (x+y)(х ^2+ у^2+2z)=1 (х ^2 +z) ^2 +z(x+y) ^2=1 доведiть, що тодi виконується нерiвнiсть (у^2 +z) ^2 +z(x+y) ^2 ≥ z з’ясуйте, коли в цiй нерiвностi досягається рiвнiсть.

Answer 1

   Сделаем замену 
 $x^2+z=a \\ y^2+z=b$
 тогда система 
 $a^2+z(x+y)^2=1 \\ (x+y)(a+b)=1$     
 Надо доказать 
 $b^2+z(x+y)^2 \geq z$ 
 Из системы выразив $b;z$ 
 Получим , что надо доказать  
 $\frac{ -2a(x+y)+(x+y)^2+1 }{(x+y)^2} \geq \frac{ (1-a^2) }{ (x+y)^2 } \\$ 
 $\frac{ (x+y-a)^2 }{ (x+y)^2 } \geq 0$
  что верно ,  так как квадрат не может быть отрицательным
  $(y^2+z)^2+z(x^2+z) = z \\ (x+y)(x^2+y^2+2z)=1 \\ (x^2+z)^2+z(x+y)^2=1$
 $y=z=0\\ x*(x^2)=1\\ x=1$ 
  Равенство достигается при $x=1;y=z=0$                          
  В целых числах