Question

Для кожного натурального числа n знайдiть усi такi пари натуральних чисел x i y, що x n − y n = 2015.

Answer 1

2015=5·13·31
1)  Пусть
     n=2

x²-y²=(x-y)·(x+y)  т.е.  (x-y)·(x+y)=5·13·31  ⇒
Решаем три системы уравнений

х-у=5        или      х-у=13      или       х-у=31
х+у=403              х+у=155                х+у=65

Складываем уравнения
2х=408                2х=168                2х=96
х=204                    х=84                  х=48
у=199                    у=71                  у=17

204²-199²=41616-39601=2015 - верно
84²-71²=7056-5041=2015 - верно
48²-17²=2304-289=2015 - верно

2) пусть n=3
x³-y³=(x-y)·(x²+xy+y²)

(x-y)·(x²+xy+y²)=2015
(x-y)·(x²+xy+y²)=5·13·31

Решаем три системы уравнений
x-y=5                              х-у=13                          х-у=31
x²+xy+y²=403                х²+ху+у²=155                 х²+ху+у²=65

Решаем методом подстановки 
 х=5+у
(5+у)²+(5+у)·у+у²=403    ⇒    у²+5у-126=0      D=25+4·126=529=23²
y₁=-14                  y₂=9 
x₁=5+y₁=5-14=-9     x₂=5+9=14
натуральные х и у это пара 14 и 9
14³-9³=2744-729=2015  - верно

х=13+у
(13+у)²+(13+у)·у+у²=155  ⇒  3у²+39у+14=0    D=39²-4·3·14=1353
получим х и у - иррациональные

х=31+у
(31+у)²+(31+у)·у+у²=65  ⇒  3у²+93у+104=0    D=93²-4·3·104=
получим  х и y   иррациональные
 3) Пусть n=4
x⁴-y⁴=(x²-y²)(x²+y²)=(x-y)(x+y)(x²+y²)

 (x-y)(x+y)(x²+y²)=5·13·31
  (х-у)·(х³+х²у+ху²+у³)=5·13·31
Получим системы
х-у=5                                          х-у=13                        х-у=31
х³+х²у+ху²+у³=403             х³+х²у+ху²+у³=155         х³+х²у+ху²+у³=65

системы не имеют натуральных решений

4) При  n=5

 x⁵-y⁵=2015
(x-y)(x⁴+x³y+x²y²+xy³+y⁴)=2015

и т.д

ответ. 
при n=2

х=204                    х=84                  х=48
у=199                    у=71                  у=17

при  n=3
x=14
y=9