Question

Вправильной треугольной пирамиде sabc сторона основания ab равна 30 а боковое ребро sa рано 28. точки m и n середины ребер sa и sb соответственно. плоскость α содержит прямую mn и перпендикулярна плоскости основания пирамиды. а) докажите, что плоскость α делит медиану ce основания в отношении 5: 1 считая от точки c б) найдите расстояние от вершины a до плоскости α

Answer 1

0. Проведём высоту SO ⊥ (ABC), медиану (и биссектрису, и высоту) CL. Т.к. пирамида правильная, то O - центр треугольника ABC. По свойству медиан CO = 2OL.
1. MN - средняя линия треугольника SAB, поэтому MN ║ AB, треугольники SMN и SAB подобны и SP = SL/2, откуда PL = SL - SP = SL/2.
2. MN ║ (ABC) и MN ⊂ α, поэтому α ∩ (ABC) = XY, XY ║ MN, AB.
3. Опустим из P на CL перпендикуляр PK. P ∈ α, α ∩ (ABC) = XY, поэтому K ∈ XY, PK ⊂ α, PK ⊥ (ABC).
4. Рассмотрим треугольники SOL, PKL. Углы SOL, PKL - прямые, угол L общий, поэтому треугольники подобны. PL = SL/2, поэтому KL = OL/2.
Тогда
CK : KL = (CO + OL/2) : OL/2 = (2OL + OL/2) : OL/2 = 5 : 1.
Пункт а) доказан.

Решаем б). Расстояние между точкой и плоскостью измеряется по перпендикуляру, т.к. (ABC) ⊥ α, то перпендикуляр лежит в (ABC), а значит, перпендикуляр опущен на прямую XY. Но тогда нам нужно расстояние между AB и XY, т.к. AB ║ XY и A ∈ AB, а оно равно LK.

CL = √3 * AB / 2 = 15 √3
LK = CL / 6 = (5 √3) / 2