Question

Ссамостоятельной работой ! ) 1. обчисліть відстань від середини відрізка ab до точки м, якщо а(-3; 2; 1), в (-1; 4; 3), м (1; 0; -1). 2. знайдіть координати точки, яка лежить на осі ординат і рівновіддалена від точок а(1; 2; -3), в (-2; 1; 5). 3. обчисліть довжину медіани вм трикутника авс, якщо а(4; 0; -8), в (2; 0; 3), с (16; 2; 8). 4. точки в(-5; 7; 4), с (1; 5; 2), d (9; -3; -4) є вершинами паралелограма авсd. знайдіть координати вершини а. 5. знайдіть координати точки, у яку перейде точка в (1; -2; 3) у результаті послідовного виконання симетрії відносно початку координат та паралельного перенесення, яке переводить точку а (-4; 5; 6) у точку а1 (-7; 2; 9).

Answer 1

1) Прямая AB задана двумя точками: A(-3,  2,  1)B(-1,  4,  3)  Задана точка M(1,  0,  -1) 
Проекция точки M на прямую AB имеет координаты K(xk, yk, zk) xk = -36 / 12 = -3 = -3
yk = 24 / 12 = 2 = 2
zk = 12 / 12 = 1 = 1
|MK| = sqrt(3456) / 12 = 4.89897948556636
Это расстояние было найдено по формуле: |MK| = sqrt((xk-xm)^2+(yk-ym)^2+(zk-zm)^2)
Координаты векторов AB, AM равны: AB = (2,  2,  2),  AM = (4,  -2,  -2).
Координаты векторного произведения AB и AM [ABxAM] = (0,  12,  -12).
Модуль векторного произведения AB и AM |[ABxAM]| = sqrt(288) = 16,9705627484771
Длина отрезка AB|AB| = sqrt(12).
Расстояние от точки M до прямой AB вычисляется по формуле |MK| = |[ABxAM]| / |AB|
|MK| = sqrt(288 / 12) = 2 * sqrt(6) = 4,89897948556636.
ответ: Координаты проекции точки M на прямую AB
K(-3,  2,  1)
Расстояние от точки S до прямой AB:
|MK| = 2 * sqrt(6).

2) А(1; 2; -3), В (-2; 1; 5)
 Для того, чтобы на оси ординат найти точку, равноудаленную от точек А и В, надо найти точку пересечения плоскости, проведенную через точку К перпендикулярно вектору АВ (А;В;С), с осью У.
Уравнение такой плоскости имеет вид:
А(Х-Хк) + В(У-Ук) + С(Z-Zк) = 0.
АВ = (-2-1=-3; 1-2=-1; 5-(-3)=8).
АВ =(-3; -1; 8).
 Находим координаты точки К - середины отрезка АВ:
Хк = (Ха+Хв)/2 = (1-2)/2 = -1/2.
Ук = (Уа+Ув)/2 = (2+1)/2 = 3/2.
Zk = (Zа+Zв)/2 = ((-3)+5)/2 = 1.
К = (-1/2;3/2;1).

Плоскость КУ = -3(X-(-1/2)) - (Y-(3/2)) + 8(Z-1) = 0
При пересечении этой плоскостью оси У координаты Х и Z равны 0.
Тогда КУ = -3/2 - У + 3/2 - 8 = 0
У = -8.
Это и есть координата на оси У точки, равноудаленной от точек A и В.  

3.​ Обчисліть довжину медіани ВМ трикутника АВС, якщо А(4; 0; -8), 
В (2; 0; 3), С (16; 2; 8). Координаты точки М как середины отрезка АС: М = ((4+16)/2=10; (0+2)/2=1; (-8+8)/2=0). М =(10; 1; 0) Длина медианы ВМ = √(10-2)²+(1-0)²+(0-3))²) = √(64+1+9) = √74 = 8.60233.    

4.​ Точки В(-5; 7; 4), С (1; 5; 2), D (9; -3; -4) є вершинами паралелограма АВСD. Знайдіть координати вершини А.
Находим координаты точки К - середины отрезка ВД:
Хк = (Хв+Хд)/2 = (-5+9)/2 = 2.
Ук = (Ув+Уд)/2 = (7+(-3))/2 = 2.
Zk = (Zв+Zд)/2 = (4-4)/2 = 0.
К = (2;2;0;).
Точка А симметрична точке С относительно точки К (это середина диагонали АС параллелограмма АВСД).
Ха = 2Хк - Хс = 2*2 - 1 = 3.
Уа = 2Ук - Ус = 2*2 - 5  = -1.
Zа = 2Zк - Zс = 2*0 - 2  = -2.
А = (3;-1;-2).