Question

Выпуклость и вогнутость графика функции. точки перегиба ! (x-1)^2/x^2

Answer 1

Если вторая производная функции отрицательна на отрезке - функция выпукла, если положительна - вогнута.

Найдём вторую производную:

$f(x)=\frac{(x-1)^2}{x^2}\\f'(x)=\frac{2(x-1)x^2-(x-1)^22x}{x^4}=\frac{2x^3-2x^2-2x^3+4x^2-2x}{x^4}=\frac{2x^2-2x}{x^4}=\frac{2x-2}{x^3}\\f''(x)=\frac{2x^3-(2x-2)3x^2}{x^6}=\frac{2x^3-6x^3+6x^2}{x^6}=\frac{-4x^3+6x^2}{x^6}=\frac{-4x+6}{x^4}$

Очевидно, что знаменатель всегда положительный (степень чётная). Следовательно, функция будет выпуклой при отрицательном числителе, вогнутой - при положительном.

$a)\quad -4x+60\quad\quad b)\quad -4x+6<0\\ -4x+6=0\Rightarrow x=\frac32\\ x=1\Rightarrow -4x+6=20\\ x=2\Rightarrow -4x+6=-2<0\\$

Следовательно, 3/2 - точка перегиба. При x<3/2 график вогнутый, при x>3/2 - выпуклый.