Представим учеников, как вершины графа, а их знакомства, как рёбра. По условию, в данном графе 25 вершин и любые две вершины соединены рёбрами с общей вершиной.
Докажем от противного. Пусть в графе не больше 35 рёбер. Допустим, что найдётся вершина степени 1, тогда рассмотрим её и вершину, соединённую с ней ребром. Они не имеют "общей вершины", так как та, которая имеет степень 1, не соединена больше ни с одной вершиной. Если найдётся вершина степени 0, условие не выполняется для неё точно. Допустим, что в графе не найдётся вершины степени 2, тогда степень каждой вершины не меньше 3, а суммарная степень вершин не меньше 75. Но тогда в графе не меньше 38 рёбер. Значит, найдётся вершина степени 2. Рассмотрим её. Она соединена с двумя вершинами (2 ребра). Каждая из остальных 22 вершин должна иметь "общую вершину" с этой, значит, каждая из оставшихся вершин соединена ребром с одной из этих двух (ещё 22 ребра) (это для того, чтобы "вершина степени 2" имела "общую вершину" с каждой из остальных). Рассмотрим "эти две вершины", они должны иметь "общую вершину" с каждой из тех, с которыми соединены, значит, должны быть соединены и между собой (ещё одно ребро) (чтобы "вершина степени 2" и каждая из "этих двух вершин" имела "общую вершину"). Так как степень остальных вершин должна быть не меньше 2, то нужно ещё не менее 11 рёбер. Итого в графе не менее 36 рёбер, что больше 35.
Эти 36 рёбер и есть искомые выбрать пару знакомых школьников.
Школьник А знаком с двумя школьниками Б и В. Б и В должны быть тоже знакомы, иначе у них не будет общего знакомого А.
Поделим знакомство Б и В с остальными 22 школьниками.
Получится, у Б и В по 13 знакомств (2+11). На двоих 2*13=26 знакомств.
Но, чтобы у 22 тоже было по 2 знакомства они должны перезнакомиться, между собой 11 с 11 другими.
Школьник А и 22 школьника имеют по 2 знакомства 23*2= 46 знакомств.
Итого: 26 + 46= 72.
Каждое знакомство учитывалось дважды ( А с Б и Б с А, и так далее).
Поэтому в 2 раза меньше 72:2=36.
