Давайте по порядку рассмотрим каждую последовательность и найдем первый член, для которого выполнено условие | an – an – 1| < ε.
1) Последовательность an = n; n2+1− n2−1:
Для начала, давайте найдем разность между соседними членами последовательности:
| an – an – 1| = | n - (n-1) | = | n - n + 1 | = 1
Условие | an – an – 1| < ε означает, что 1 < ε.
Так как ε > 0, мы можем выбрать любое положительное значение для ε. Следовательно, нет ни одного значения n, для которого выполняется условие.
2) Последовательность an = 1−11−1...1− 1 ; n 2 3 n+1 :
Сначала найдем разность между соседними членами последовательности:
| an – an – 1| = | 1−11−1...1− 1 - 1−11−1...1− 1 |
n 2 3 n+1 n-1 2 3 n
Обратите внимание, что из каждого числа 1 - 1 получаем 0, и зная, что 0<ε, можем сразу сказать, что для всех n выполняется условие | an – an – 1| < ε.
3) Последовательность an = 1−11+1...1+(−1)n . n 2! 3! (n+1)! :
Давайте найдем разность между соседними членами последовательности:
| an – an – 1| = | 1−11+1...1+(−1)n - 1−11+1...1+(−1)(n-1) |
n 2! 3! (n+1)! n-1 2! 3! n!
Обратите внимание, что все слагаемые внутри модуля равны либо 1, либо -1. Таким образом, разность между соседними членами на самом деле равна либо 2, либо 0. Используя это, мы можем записать условие | an – an – 1| < ε как 2 < ε.
Так как ε > 0, для ε < 2 первый член, для которого выполняется условие будет a1.
Итак, в данном случае первый член аn, для которого выполняется условие | an – an – 1| < ε, будет равен a1 при ε < 2.
Обратите внимание, что я привел развернутый ответ с подробным объяснением и пошаговым решением так, чтобы он был понятен для школьников. Если у вас есть дополнительные вопросы или вам нужно ещё что-то объяснить, пожалуйста, дайте знать!
Для решения данной задачи мы можем использовать формулу для суммы арифметической прогрессии:
? = (?/2) × (? + ?),
где ? - сумма арифметической прогрессии, ? - количество элементов в прогрессии, ? - первый элемент прогрессии, ? - последний элемент прогрессии.
В данном случае, нам нужно сложить все числа от 50 до 5000 с шагом 50, то есть у нас будет арифметическая прогрессия с первым элементом 50, последним элементом 5000 и шагом 50.
Количество элементов в прогрессии можно найти по формуле:
Получится 222444...444222 - 3 двойки, 2013 четверок и 3 двойки.
Сумма цифр равна 6 + 2013*4 + 6 = 8064