Мысалы, егер кез келген {\displaystyle ~a} санына {\displaystyle ~b} санын қосып, одан кейін {\displaystyle ~b} санын азайтсақ {\displaystyle ~((a+b)-b=a)}, онда {\displaystyle ~a} саны езгеріссіз қалады немесе амалдардың ретін ауыстырсақ, {\displaystyle ~(a-b)+b=a} аламыз. Тура осылай, өзара кері көбейту және бөлу амалдарының дұрыс орындалғанын тексеруге болады, яғни {\displaystyle ~(ab):b=a} немесе {\displaystyle ~(a:b)\cdot b=a}, мұндағы {\displaystyle ~b\neq 0.} Сонда "Дәрежеге шығару амалына кері амал бар ма?" деген сұрақ туындайды. {\displaystyle ~3^{2}=9} екені белгілі. Бұл жазудағы {\displaystyle ~3^{2}} — дәреже, {\displaystyle ~3} — дәреженің негізі, {\displaystyle ~2} — дәреженің көрсеткіші. Мұнда санның негізі {\displaystyle ~(3)} жөне көрсеткіші {\displaystyle ~(2}) арқылы дәреженің мәні {\displaystyle ~(9)} есептелген. Ал берілген дәреженің мәні мен көрсеткіші бойынша дәреженің негізін табуды түбір шығару деп атайды.
Обозначим объём воды за (единицу), а объём воды, которая наполняет воду одной трубой в час за (х) , а другой трубой за (у), тогда наполнение водой бассейна обеими трубами за 6часов равно:
1/(х+у)=6 - первое уравнение
Одна труба наполняет бассейн за 1/х часов, а другая труба наполняет бассейн 1/у часов
А так как первая труба заполняет бассейн на 5 часов быстрее чем вторая, составим второе уравнение:
1/х -1/у=5
Решим систему уравнений:
1/(х+у)=6
1/х -1/у=5
1=6*(х+у)
у-х=5ху
Из первого уравнения системы уравнений найдём значение (х)
1=6х+6у
6х=1-6у
х=(1-6у)/6
Подставим значение х=(1-6у)/6 во второе уравнение:
у-(1-6у)/6=5*(1-6у)/6*(у ) Приведём уравнение к общему знаменателю 6
6у-1+6у=5у-30у²
30у²+12у-5у-1=0
30у²+7у-1=0
у1,2=(-7+-D)/2*30
D=√49-4*30*-1)=√(49+120)=√169=13
у1,2=(-7+-13)/60
у1=(-7+13)/60=6/60=1/10
у2=(-7-13)/60=-20/60=-1/3 -не соответствует условию задачи
Подставим значение у=1/10 в х=(1-6у)/6
х=(1-6*1/10)/6=(1-6/10)/6=4/10 : 6=4/60=1/15
Одна труба наполняет бассейн за
1/х или 1 : 1/15=15 часов,
а другая труба наполняет бассейн за
1/у или 1/10=10часов
ответ: Одна труба заполняет бассейн на 5 часов больше чем вторая, значит вторая труба наполняет бассейн за 15 часов