Question

Треугольник авс задан координатами вершин а(-5; 3) в(-2; 1) с(4; 3). найти: 1) угол между медианой ам и стороной ав; 2) прямую проходящую через точку с параллельно прямой ав; 3) уравнение высоты вn. решите

Answer 1

1) Находим координаты точки М (это основание медианы АМ), которые равны полусумме координат точек стороны ВС.
$M( \frac{-2+4}{2}=1; \frac{1+3}{2}=2)$.

Пусть координаты точек
A: Xa, Ya.
B: Xb, Yb.
М: Xc, Yc.

Находим координаты векторов AB и АМ:
AB= (Xb-Xa; Yb-Ya) = ((-2+5); (1-3)) = (3; -2);
AМ= (Xm-Xa;, Ym-Ya) = ((1+5); (2-3)) = (6; -1).
Находим длины векторов:
|AB|=√((Xb-Xa)² + (Yb-Ya)^2) = √((-2+5)² + (1-3)²) =
= √(9 + 4) = √13 =  3.60555;
|AM|=√((Xm-Xa)²+(Ym-Ya)²) = √((1+5)² + (2-3)²) = √(36 + 1) = √37 =
=  6.08276.
Находим cos угла:
b=cos α=(AB*AM)/(|AB|*|AM|).

AB*AM = (Xb - Xa)*(Xm - Xa) + (Yb - Ya)*(Ym - Ya) =
= 3*6 +((-2)*(-1) = 18 + 2 = 20.

b = cosα = 20 / (√(13*37) = 20 / √ 481  = 20 / 21.9317 =  0.91192

Угол α=arccos(b) = arc cos  0.91192 =  0.42285 радиан =
= 24.2277°.

2) Уравнение прямой, проходящей через точку С:
 С || АВ:
               Х-Хс = У-Ус
              Хв-Ха Ув-Уа 
$\frac{x-4}{-2+5} = \frac{y-3}{1-3}$
Получаем каноническое уравнение прямой:
$\frac{x-4}{3}= \frac{y-3}{-2}$
Или в общем виде:
2х - 3у - 17 = 0.

3) Уравнение высоты ВN.
Так как сторона АС параллельна оси х (координаты у точек А и С равны), то высота BN как перпендикуляр к стороне АС будет параллельна оси у и иметь координату по х, равную х точки В. BN = -2.