Question

Решить систему y/x+x/y=13/6 и x+y=5

Answer 1

$\left \{ {{ \frac{y}{x} + \frac{x}{y}= \frac{13}{6} } \atop {x+y=5}} \right.$
Упросим верхнее уравнение
$\frac{y}{x} + \frac{x}{y}= \frac{13}{6}$
$6y^{2} +6 x^{2} =13xy$
выразим х из нижнего
$x+y=5$⇒$x=5-y$
подставляем найденное значение х в верхнее уравнение
$6 y^{2} + 6 (5-y)^{2} = 13y(5-y)$
$6 y^{2} +6(25-10y+ y^{2})=13*5y-13 y^{2}$
$25 y^{2} -125y+150=0$
получаем квадратный трехчлен. чтобы было удобнее, разделим его коэффициенты на 5
$y^{2} -5y+6=0$
воспользовавшись теоремой Виета, находим корни y
$y_{1} = 2$
$y_{2} = 3$
подставляем каждое из значений у в нижнее уравнение системы
при $y_{1}$ ⇒ $x_{1} = 5-2$⇔$x_{1} = 3$
при $y_{2}$ ⇒ $x_{2} = 5-3$⇔$x_{2} = 2$
ответ: 2,3; 2,3