Question

Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями у=х^2-8x+16 y=6-x

Answer 1

Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями у=x^2-8x+16 y=6-x

Линии $y_1 = x^2 - 8x + 16$ и $y_2 = 6 - x$ представлены на рисунке, где видны две точки их пересечения и образованную ими "луночку". Именно площадь этой луночки и требуется найти. Линии пересекаются в точка, которые можно найти, приравняв функции:

$x^2 - 8x + 16 = 6 - x$ ;

$x^2 - 7x + 10 = 0$ ;

$D = 7^2 - 4 \cdot 10 = 49 - 40 = 9 = 3^2$ ;

$x_{I,II} = \frac{ 7 \pm 3 }{2} \in \{ 2 , 5 \}$ ;

$x_I = 2 ; y_I = 4 ; x_{II} = 5 ; y_{II} = 1$ ;

Итак, точки краёв луночки: $( x_I ; y_I ) = ( 2 ; 4 )$ и $( x_{II} ; y_{II} ) = ( 5 ; 1 )$ ;

В этой области линейная функция $y_2(x)$ повсюду выше "донной" части параболы $y_1(x)$, поэтому интегрировать нужно разность $y_2(x) - y_1(x)$ на отрезке $x \in [ 2 ; 5 ]$ :

$S = \int\limits^5_2 ( y_2(x) - y_1(x) ) \, dx = \int\limits^5_2 ( 6 - x - ( x^2 - 8x + 16 ) ) \, dx =$

$= \int\limits^5_2 ( 6 - x - x^2 + 8x - 16 ) \, dx = - \int\limits^5_2 ( x^2 - 7x + 10 ) \, dx =$

$= ( \frac{1}{3} x^3 - \frac{7}{2} x^2 + 10x ) |_5^2 = \frac{1}{3} ( 2^3 - 5^3 ) - \frac{7}{2} ( 2^2 - 5^2 ) + 10 ( 2 - 5 ) =$

$= \frac{1}{3} ( 8 - 125 ) - \frac{7}{2} ( 4 - 25 ) + 10 \cdot ( -3 ) = \frac{1}{3} \cdot ( -117 ) - \frac{7}{2} \cdot (-21) - 30 =$

$= - 39 + \frac{147}{2} - 30 = 73.5 - 69 = 4.5 .$

О т в е т : Плошадь фигуры S = 4.5 .