Для начала докажем то, что называется неравенством Коши-Буняковского-Шварца:
Рассмотрим два набора чисел: 
и 
.
Тогда выполнено неравенство: 
;
Это неравенство можно доказывать по-разному. Заметим, что скалярное произведение векторов 
и 
есть 
, где 
- координаты составляющих вектора. Поскольку скалярное произведение векторов всегда не превосходит произведения модулей векторов (так как 
), то отсюда немедленно следует неравенство (ведь сумма квадратов в рассматриваемом неравенстве - это квадрат модуля вектора).
__________________________
Сделаем замену: 
; Получим неравенство: 
Полагая 
и 
, получим: 
Объектом изучения теории вероятностей являются события и их вероятности. Если событие является сложным, то его можно разбить на простые составляющие, вероятности которых найти несложно.
Суммой событий А и В называется событие С, заключающееся в том, что произошло либо событие А, либо событие В, либо события А и В одновременно.
Произведением событий А и В называется событие С, заключающееся в том, что произошло и событие А и событие В.
IСобытия А и В называется несовместными, если они не могут произойти одновременно.
Событие А называется невозможным, если оно не может произойти. Такое событие обозначается символом \oslash.
Событие А называется достоверным, если оно обязательно произойдет. Такое событие обозначается символом \Omega.I
Пусть каждому событию А поставлено в соответствие число P{А). Это число P(А) называется вероятностью события А, если при таком соответствии выполнены следующие условия.
1.Вероятность принимает значения на отрезке от 0 до 1, т.е. 0<P(A)<1
2.Вероятность невозможного события равна 0, т.е. P(\oslash) = 0 .
3.bВероятность достоверного события равна 1, т.e. P(\Omega) = 1.
4.Если события A и В несовместные, то вероятность их суммы равна сумме их вероятностей, т.е. P(A+B) =P(A)+P(B)
Важным частным случаем является ситуация, когда имеется n равновероятных элементарных исходов, и произвольные k из этих исходов образуют события А. В этом случае вероятность можно ввести по формуле P(A) = \frac{k}{n}. Вероятность, введенная таким образом, называется классической вероятностью. Можно доказать, что в этом случае свойства 1-4 выполнены.
Задачи по теории вероятностей, которые встречаются на ЕГЭ по математике, в основном связаны с классической вероятностью. Такие задачи могут быть очень простыми. Особенно простыми являются задачи по теории вероятностей в демонстрационных вариантах. Легко вычислить число благоприятных исходов k, прямо в условии написано число всех исходов n.
